Пространство .

Последовательность из действительных чисел, расположенных в определенном порядке, называется -мерным вектором. Совокупность всех -мерных векторов ( ) обозначим . Введем в операции сложения и умножения на вещественное число поэлементно: ,

нуль-вектором назовем вектор, все координаты которого равны нулю: .

Множество, на котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие обычным свойствам арифметических действий, называется линейным пространством. Таким образом, множество с введенными выше операциями является линейным пространством.

Совокупность из векторов пространства будем называть линейно независимой, если их линейная комбинация

(*)

лишь при условии . В противном случае, т.е. если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется равенство (*), совокупность назовем линейно зависимой.

.

Любая система векторов, обладающих такими свойствами, называется базисом пространства .

В случаях вектор можно рассматривать как вектор, заданный своими проекциями на оси координат. Тогда в «привычных» обозначениях: система является базисом в пространстве , а – в .

В существует бесконечное множество базисов. В частности, в – это любая пара неколлинеарных, а в – любая тройка некомпланарных векторов.

Покажем, что векторы образуют базис в , и найдем разложение вектора по базису

1. Составим линейную комбинацию . Выясним условия на , при которых эта комбинация дает .

Определитель полученной однородной системы , значит (см. замечание к теме «СЛАУ») она имеет только тривиальное решение .

2. Найдем координаты вектора в этом базисе: .

Ответ: . (На рис результат проиллюстрирован геометрически.)