Векторное пространство

Теорема о пополнение

Пусть V - векторное пространство dimV=n( ∃ базис ē₁ ,ē₂ , … ,ē_n). ∀ линейно-независимую упорядоченную систему векторов ( ƒ̅ ₁ ,ƒ̅₂ , … , ƒ̅_n )⊂ V можно дополнить до некоторого базиса пространства V. В частности ∀ не нулевой вектор V можно включить в некоторый базис.

Если s=n, то это уже базис.

Если s>n быть не может, потому что в ∀ системе векторов больше, чем в базисе – она линейно зависима.

Если s<n :

(1) ƒ̅ ₁, ƒ̅₂, … , ƒ̅_s, ē₁, ē₂ , … ,ē_n – (n+s) векторов. Отбросим все векторы, которые выражаются через предыдущие. Так как F_s линейно независима, то она остается, по критерию линейно независимости.

(2) ƒ̅ ₁, ƒ̅₂, … , ƒ̅_s, ē_𝑖1, ē_𝑖2 , … ,ē_𝑖𝑛 составим произвольную линейную комбинацию

α₁ƒ̅ ₁, α₂ ƒ̅₂, … , α_s ƒ̅_s, β₁ē_𝑖1, β₂ē_𝑖2 , … ,β_k ē_𝑖n

β_n с максимальным n, β_n≠0 ⇒ ē_𝑖n выражается через предыдущий ⇒ β_n=0

α₁ƒ̅ ₁+ α_s ƒ̅_s=ō ⇒ α₁,α₂,… ,α_s=0

Значит, наша система 2 линейно независима.

2 – полная система, так как ∀ вектор пространства V линейно выражается через систему 1, через 2в силу транзетивности: линейный вектор пространства V выражается через систему 2.

Следствия:

Если есть подпространство пространства, то размерность подпространства не превосходит размерность пространства: L⊂V ⇒ dimL≤dimV

dimL=dimV ⇒ L=V

Базис любого подпространства можно включить в некоторый базис объемлющего пространства.

Сумма подпространств.

Сумма подпространств – это такое множество, которое состоит из элементов одного и другого подпространств

Теорема. Размерность суммы.

Пусть U и W –конечномерные подпространства V.

dim(U+W) = dimU + dimW - dimU∩W

k = dimU p=dimW m = dimU∩W

U∩W⊂U ⇒ m ≤ k

U∩W⊂W ⇒ m ≤ p

В пересечение подпространств выбираем какой либо базис

ē₁, ē₂ , … ,ē_m( базис U∩W) a̅₁, …, a̅_k-m-базис в U

ē₁, ē₂ , … ,ē_m( базис U∩W) b̅₁,…,b̅̅_p-m базис в W

z = u + w u∊U,w∊W

u+w=[ ē₁, ē₂ , … ,ē_m, a̅₁, …, a̅_k-m, b̅₁,…,b̅̅_p-m] – линейная оболочка.

Любой вектор суммы принадлежит линейной оболочке.

Осталось проверить линейную независимость.

Равенство нулю возможно только в тривиальном случае.