Замечания.

- Если в уравнении плоскости свободный член , то плоскость проходит через начало координат.

- Если в уравнении отсутствует какая-либо координата, то плоскость проходит параллельно соответствующей оси.

- Коэффициенты при в общем уравнении – координаты нормали плоскости .

- Уравнения координатных плоскостей имеют вид соответственно.

Построить плоскость по ее уравнению

1. . Все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, поэтому удобно преобразовать его к уравнению в отрезках: .
2. . Уравнение не содержит переменную , значит, плоскость параллельна оси , и ее направляющей служит прямая .
3. . Это плоскость, параллельная осям и , иначе говоря, параллельная плоскости , проходящая «на высоте 3».

Прямая в пространствезадается каноническим, параметрическим или общим уравнениями.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору .

Выберем на прямой произвольно точку с текущими координатами . Тогда вектор параллелен вектору :

.

Это уравнение называется каноническимуравнением прямой в пространстве.

1а. Рассуждая аналогично, получим уравнение прямой по двум ее точкам :

.

2. Введем в каноническом уравнении параметр :

.

Уравнение прямой в таком виде называется параметрическим. При фиксированном значении параметра получаем соответствующую точку прямой. Придавая все значения из числового промежутка , получим соответствующий отрезок прямой.

3. Также прямую можно задать как линию пересечения непараллельных плоскостей.

Такое уравнение называется общим.Почему «альфа»???

Для решения задач, необходимо уметь переходить от одной формы записи прямой к другой.

Найти расстояние от точки до прямой .рис. Не такой!!!

Решение. Убедимся, что . Подставив ее координаты в уравнение прямой, мы видим: (если хотя бы одно из равенств не выполнено, то точка не принадлежит прямой). Обозначим – проекция на . Тогда расстояние от до

.

Точку найдем как пересечение заданной прямой и перпендикулярной к ней плоскости , проходящей через . Из рисунка видно, что вектор , направляющий прямую, является для нормалью, т.е. можно воспользоваться уравнением плоскости по точке и нормали:

.

Тогда .

Чтобы решить систему, предварительно приведем уравнение прямой к параметрическому виду:

И затем решим ее методом подстановки.

Таким образом .