Отображения

Пусть Х – некоторое числовое множество. Говорят, что на множестве Х определена функция f, если каждому числу xÎХ ставится в соответствие определенное число y = f(x). Множество Х – область определения функции, а множество Y = {f(x) | xÎX} – область значений функции. Если в качестве множеств Х и Y рассматривать множества произвольной природы, а не только числовые, мы приходим к понятию отображения.

Def. Пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X определено отображение f, принимающее значения из Y (f : X® Y), если каждому элементу x из X ставится в соответствие единственный элемент y = f(x) из Y.

Множество элементов xÎX, для которых определено отображение f, называется областью определения f и обозначается d_f.

Если имеется какой-либо элемент хÎX, то соответствующий ему элемент yÎY будем называть образом x. Пусть A – некоторое подмножество множества X (AÍX), образ множества A определяется как множество образов элементов множества A и обозначается f(A), т.е. f(A) = {f(x) | xÎA}. Образ области определения называется областью значений отображения f и обозначается r_f (т.е. r_f = f(d_f) = f(X)).

Если задать yÎY, то множество соответствующих ему x, т.е. таких, что y = f(x), будем называть прообразом y и обозначать f ^–1(y), f ^–1(y) = {xÎX | y = f(x)}. В общем случае обратное отображение f ^–1 неоднозначно. Пусть B – некоторое подмножество множества Y (BÍY), прообраз множества B определяется как множество прообразов элементов множества B и обозначается f ^–1(B), т.е. f ^–1(B) = { xÎA | f(x) = y, y Î B}.

Отображение i : X ® X такое, что i(x) = x для любого xÎX называется тождественным отображением.

Пусть f : X ® Y и g : Y ® Z. Отображение h : X ® Z, такое, что каждому элементу xÎX ставится в соответствие единственный элемент h(x) = g(f(x)), называется композицией (или суперпозицией) отображений f и g и обозначается g о f.

Отображение f : X ® Y называется сюръекцией X на Y, если множество образов всех элементов из X совпадают с множеством Y. Это обозначается как f(X) = Y. Другое эквивалентное определение сюръекции – это отображение, при котором каждый элемент из Y имеет прообраз в множестве X.

Если для любых x₁, x₂ÎX таких, что x₁ ¹ x₂, получается, что f(x₁) ¹ f(x₂), т.е. разным элементам соответствуют различные образы, то это отображение f называется инъекцией.

Отображение f, которое является одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением.

Если между А и В установлено биективное отображение, то говорят, что множества А и В эквивалентны. Эквивалентность множеств обозначается A ~ B.

Легко видеть, что эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Признаки эквивалентности множеств дают следующие