Визначення і приклади

Нехай задано дві множини Х і Y. Відображення f з множини Х в множину Y кожному елементу х з множини Х ставить у відповідність деякий (один) елемент f (х) з множини Y. Елемент f (х) називають образом елемента х при відображенні f. Символічно відображення записується так: f : Х ® Y чи X Y. У випадку Y = Х кажуть ще про відображення f множини Х в (на) себе.

Якщо Х = {x₁, x₂, …, x_n} – скінченна множина, тo відображення f : Х ® Y, можна задати записом з двох рядків f = , де f (х_i) Î Y, i = 1, 2, …, n.

Наприклад, f : Х → Y, Х = {l, 2, 3, 4, 5}, Y = {а, b, c}, f = .

Відображення часто ілюструють за допомогою діаграм (рис. 8), де відповідність між елементами показують стрілками. Відображення задане в попередньому прикладі зображене на рис. 8а. Відповідності рис. 8б та рис. 8в відображеннями не будуть, оскільки на рис. 8б елемент 1 Î X не має образу в множині Y, а на рис. 8в елементу 3 Î X ставиться у відповідність два елементи з множини Y: b та c.

Рис. 8

Приклади відображень:

1) f (x) = є відображенням множини відмінних від нуля елементів множини дійсних чисел R\{0} в R.

2) Якщо, Х - множина дійсних функцій φ(х), визначених та інтегрованих на інтервалі [a, b], то інтеграл є відображенням з множини Х в множину дійсних чисел R.

3) Якщо X - множина кривих скінченної довжини на площині, то можна визначити відображення з Х в множину R₊ додатних дійсних чисел, яке кожній кривій ставить у відповідність її довжину.