Ін’єктивні, сюр’єктивні та бієктивні відображення

Відображення f множини Х в множину Y називають ін’єктивним, чи ін’єкцією, якщо двом різним елементам з множини Х відповідають два різних елементи з множини Y (рис. 9а та 9в). Іншими словамиf : X → Y ін’єктивне, якщо для будь-яких x ≠ x₁, x, x₁ Î Х, f (x) ≠ f (x₁).

Зауважимо, зокрема, що канонічна ін’єкція деякої підмножини в саму множину є ін’єктивним відображенням.

Відображення f називають сюр’єктивним, чи сюр’єкцією, якщо для кожного елемента y з множини Y існує принаймні один елемент x з множини X такий, що f(x)=y. (рис. 9б та 9в).

Відображення називають бієктивним, чи бієкцією, якщо воно одночасно ін’єктивнe та сюр’єктивнe. Відображення f є бієктивним, якщо кожен елемент із Y є образом при відображенні f деякого, і при тому єдиного, елемента з X (рис. 9в). Кажуть, що бієктивне відображення встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами X та Y. Бієкція множини на себе називається також перестановкою чи перетворенням.

Рис. 9

Для скінченних множин Х та Y сюр’єктивнiсть відображення f : X → Y означає, що | Х | ≥ | Y |. Наприклад; f : {1, 2, 3, 4} → {y₁, y₂, y₃}, f = - сюр’єктивне, a f = - не сюр’єктивнe.

Якщо Х і Y скінченні, то ін’єктивність відображення означає, що | Х | ≤ | Y |.

Наприклад, нехай Х = {l, 2, 3}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}. Якщо f (1) = y₁, f (2) = y₂, f (3) = y₃, то f : X → Y ін’єктивнe.

При скінченних X та Y бієктивнiсть відображення f : X → Y означає, що | X | = | Y |.

Наприклад, X = (1, 2, 3), Y = {y₁, y₂, y₃}, відображення f = - бієктивне.