Відношення

Розглянемо декартовий добуток другого степеня множини Х: Х² = Х ´ Х. Довільну підмножину R множини Х² (R Í Х²) будемо називати бінарним відношенням (або просто відношенням), заданим на множині Х. Вважатимемо, що впорядковані елементи x, х' Î Х знаходяться між собою у відношенні R, коли (x, х') Î R. Якщо на Х задано відношення R Í X ², то запис x R х' означає, що x і х' знаходяться у відношенні R, тобто(x, х') Î R.

Розглянемо кілька прикладів відношень:

1) на множині N відношення £ . Ясно, що впорядковані пари (3, 7) і (5, 5) належать цьому відношенню, а пара (4, 1) не належить;

2) на множині Р(Х) всіх підмножин множини Х = {1, 3, 5, 7, 9} відношення Í. Пари підмножин ({1, 3}, {1, 3, 9}) і ({5, 7, 9}, {5, 7, 9}) належать цьому відношенню, а пара підмножин ({1, 5, 7}, {3, 5, 9}) не належить.

Відношення R на множині X називається:

1) рефлективним, якщо довільний елемент множини знаходиться у відношенні сам з собою, тобто для будь-якого х Î Х виконується х R х. Прикладами рефлективних відношень можуть бути ≤, ≥, = на множині натуральних чисел;

2) антирефлективним, якщо для будь-якого х Î Х пара (х, х) не належить до відношення R. Прикладами антирефлективних відношень можуть бути <, >, ≠ на множині раціональних чисел;

3) симетричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' випливає х' R x;

4) антисиметричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' і х' R x, випливає x = х' (наприклад, £ на N, тому що з x £ х' і х' £ x випливає х= х');

5) транзитивним, якщо для довільних x, х', х'' Î Х з того, що x R х' і х' R х'', випливає x R х'' (наприклад, відношення Í на множині Р(Х) чи відношення £ на множині N).

Наведемо деякі приклади відношень:

1) R = {(x, х') | x, х' Î Q, | x - х' | £ 2007}

Відношення рефлективне, бо для будь-якого xÎQвиконується нерівність | x - х | £ 2007

Відношення не є антирефлективним, бо скажімо для елемента x=5ÎQ нерівність | x - х | £ 2007 виконується.

Відношення є симетричним, бо для довільних x, х' Î Q, з нерівності | x - х' | £ 2007 випливає нерівність | x' - х | £ 2007

Відношення не є антисиметричним, бо для різних елементів x=7 та x'=5 з множини Q одночасно виконуються нерівності | x - х' | £ 2007 та | x' - х | £ 2007

Відношення не є транзитивним, бо для елементів x=2010, x'=1 та x''=10 з множини Q нерівності | x - х' | £ 2007 та | x' - x'' | £ 2007 виконуються, а нерівність | x - х'' | £ 2007 не виконується.

2) R = {(x, y) | x, y Î С, якщо |x| £ |y| £ |y²|}

Розглянемо далі відношення, які мають особливе значення.