Поле действительных чисел.
Теорема 2. - поле.
Доказательство.
Поскольку операции сложения и умножения действительных чисел сводятся к операциям сложения и умножения рациональных, то нетрудно проверяется их ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.
(существование 0) (?)
Покажем, что класс :
.
(существование 1) (?)
Покажем, что класс :
.
(существование противоположного) (?)
Проверим, что :
.
(существование обратного для каждого ненулевого) (?)
Поскольку , - ненулевая ф.п.р.ч., следовательно, либо , либо положительны. Последнее влечет . Таким образом, среди членов последовательности , начиная с номера нет чисел, равных 0. Рассмотрим - подпоследовательность последовательности такую, что . Последовательность не содержит нулевых членов. Зная, что всякая подпоследовательность эквивалентна данной последовательности, имеем . Тогда . Поскольку ненулевая фундаментальная последовательность рациональных чисел и среди ее членов отсутствуют числа, равные 0, является частным фундаментальных последовательностей , а, значит тоже фундаментальна.
Проверим, что :
.
что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 945;