Упорядоченность полукольца натуральных чисел.

На множестве натуральных чисел определим бинарное отношение по следующему правилу:

Теорема 3.Отношение на множестве натуральных чисел является строгим линейным порядком.

Доказательство.

Отношение - порядок на (?)

(антисимметричность) (?)

. Возможны случаи:

§ ;

§ .

В обоих случаях получили противоречие с 1 аксиомой Пеано, следовательно, посылка импликации ложна, а, значит, сама импликация истинна.

(транзитивность) (?)

.

Порядок - строгий (?)

(антирефлексивность) (?)

Предположим, что . Возможны случаи:

§ ;

§ .

В обоих случаях получили противоречие с 1 аксиомой Пеано, следовательно, предположение неверно.

Порядок - линейный (?)

(линейность) (?)

Доказательство проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

Возможны случаи:

§ ;

§ .

В обоих случаях дизъюнкция оказалась истинной.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

Возможны случаи:

§ ;

§ . Возможны случаи:

· ,

· ;

§ .

что и требовалось доказать.

Свойства отношения :

1) .