Основні рівняння руху рідини

Рух рідких середовищ підпорядковується тим самим законам механіки, що і рух твердих тіл та газів. У суціль­ному середовищі можна виділити елементарний об'єм ріди­ни dV (чи елемент маси dm=pdV, p - густина середо­вища), розглянути сили, що діють на нього і записати рів­няння статики (рівноваги) чи динаміки. При русі у просторі кожний такий елементарний об'єм рухається вздовж деякої траєкторії - лінії струму (мал. 1.13а,б). Дотична до будь-якої точки лінії струму збігається з напрямом вектора швидкості частинки у цій точці. Виділимо у просторі замкнений контур S. Всі лінії струму, що проходять крізь цей контур, утворюють трубку струму. Таким чином, трубка струму являє собою частину потоку рідини, обмежену лініями струму (мал. 1.1.3в).

Мал. 1.13. Лінії струму при стаціонарному (а) і турбулентному плині (б), трубка струму (в).

Описуючи потік рідини, часто використовують терміни - поле швидкостей і профіль швидкостей, що являють собою відповідно значення швидкостей у всіх точках прос­тору і точках перерізу трубки струму у фіксований момент часу. Якщо лінії струму і поле швидкостей не змінюються з часом, то рух рідини зветься стаціонарним. При стаціонар­ному плині траєкторії частинок залишаються незмінними. Швидкість частинки може змінюватися при її русі вздовж лінії струму, але у кожній точці лінії струму вона зберіга­ється за величиною і напрямком. Якщо поле швидкостей і лінії струму змінюються з часом, то такий плин зветься нестаціонарним. У цьому випадку лінії струму під час плину зникають і знову з'являються, у деяких випадках за формою вони нагадують вихори (мал. 1.136), такий плин рідини зветься турбулентним або вихровим.

Рівняння нерозривності струменя. Розглянемо стаціо­нарний плин рідини. Позначимо через и середню швидкість плину рідини для довільно вибраного перерізу S трубки струму. Маса рідини, що протікає через цей переріз за оди­ницю часу, залишається постійною через те, що рідина не розривається і не стискається в звичайних умовах, тобто

dm/dt = const. (1.15)

(Якщо б ця умова не виконувалася, то тубка струму не зберігалася б постійною у просторі). Оскільки dm = Sdl = = S*υ*dt, з рівняння (1.15) отримаємо:

p*S*υ= const. (1.16)

Для нестисливої рідини (ρ = const) рівняння нерозрив­ності струменю дає зв'язок між площиною перерізу трубки струменю і середньою швидкістю плину рідини:

S*υ - const, або для різних перерізів трубки струму (див. мал. 1.14)

S₁-υ₁=S₂-υ₂. (1.17)

Величина Q = dV/dt = S*υ [м³/с], що дорівнює об'єму рідини, який протікає через переріз трубки струму за одиницю часу, зветься об'ємною швидкістю плину рідини. При стаціонарному плині вона залишається величиною сталою. Аналогами цієї величини у фізіології є витрата крові або хвилинний об'єм крові (ХОК). Виходячи з визначення об'ємної швидкості плину рідини, хвилинний об'єм крові можна обчислити як відношення ударного об'єму крові V_yддо періоду скорочення серця Т, або добуток V_yдначастоту серцевих скорочень ЧСС -1/Т:

XOK=V_yд/T=V_yд*ЧCC.

Коли кров рухається по еластичних судинах, внаслідок їх деформації при зміні тиску лінії струму не залишаються постійними. У цьому випадку рівняння нерозривності струменю може бути подано таким чином:

dV/dt = Q₁(t) - Q₂(t), або , (1.18)

де Q₁(t) та Q₂(t) - відповідно приплив та відток крові для ділянки судини. Ці рівняння будуть в подальшому вико­ристані при вивченні фізичних основ реографи.

Мал. 1.14. Трубка струму.

Рівняння Бернуллі. Розглянемо стаціонарний плин іде­альної рідини. Виділимо у просторі трубку струму (мал. 1.14) і розглянемо енергію малого елемента об'єму рідини з масою Δm = ρΔV, що протікає через переріз трубки струму за деякий час. Оскільки рідина є ідеальною і робота сил тертя дорівнює нулю, то повна енергія деякого елементу об'єму рідини у цьому випадку буде залишатися величиною сталою при русі вздовж трубки струму:

Е = Е_к+ Е_п + Е_ст = const, (1.19)

де Е_к = Δm*υ²/2 - кінетична енергія, Е_п = Δmgh - потенціаль­на енергія, а Е_ст = P-ΔV - потенціальна енергія виділеного об'єму рідини. Підставляючи ці вирази у формулу (1.19) і вводячи об'ємну густину енергії w = E/ΔV, отримаємо рів­няння Бернуллі, котре являє собою закон збереження енергії для одиниці об'єму рідини, що рухається

w = + pgh + P = const. (1.20)

Таким чином, фізичний зміст рівняння Бернуллі полягає в тому, що об'ємна густина енергії w ідеальної рідини при її стаціонарному плині залишається величиною сталою. Зауважимо, що розмірність об'ємної густини енергії дорівнює [w] = [E]/[ΔV] - Дж/м³- Н/м², тобто вона збігається з розмірністю тиску [ρ] = Па = Н/м². Тому в гідравліці компоненти об'ємної густини енергії w називають: ρυ²/2 - динамічним, ρgh - гідростатичним та Р - статичним тисками. У цьому випадку рівняння Бернуллі свідчить про те, що сумарний тиск залишається постійним вздовж трубки струму при стаціонарному плині ідеальної рідини.

Мал. 1.15. Об'ємна енергія крові: w_вен -yвенозному руслі; w_арт -y артеріальному руслі; їх різниця w_c= w_арт- w_вен .

Коли кров рухається по судинному руслу, величина об'ємної густини енергії різко змінюється при переході з венозного русла до артеріального (мал. 1.15). Ця зміна обу­мовлена діяльністю серця як насоса. Насосна функція серця полягає у зміні об'ємної густини енергії крові. Насосну функцію серця можна характеризувати різницею об'ємних густин енергії на вході та виході серця, тобто величиною

w_c= w_арт- w_вен .

Розрахунок цих величин за формулою (1.20) свідчить про те, що більш як 95% від величини w_c припадає на по­тенціальну енергію стисненої рідини в аорті, яка, в свою чергу, визначається величиною середнього артеріального тиску. Отже, величина артеріального тиску дозволяє судити про насосну функцію серця й енергію крові на виході сер­ця, за рахунок якої відбувається її подальший рух по судинному руслу. Зауважимо, що у всіх теплокровних середнє значення артеріального тиску одне і те ж, порядку 90-100ммHg, у той час, як інші найважливіші показники системи кровообігу (такі, як хвилинний об'єм, частота серцевих скорочень) значно відрізняються. Більш того, в організмі існує спеціальна система слідкування за артеріальним тиском, а точніше - за об'ємною густиною енергії крові. Саме її підтримка на певному рівні дозволяє забезпечити рух крові крізь капіляри з оптимальною швидкістю, при якій відбувається рівномірна віддача кисню оточуючим тканинам (незалежно від того, яка їх кількість включена до роботи і який хвилинний об'єм протікає крізь них).

З наведеного вище можна зробити висновок, що кіль­кість енергії, що її передає серце одиниці об'єму крові, є однією з найважливіших констант організму. Спеціальні ре­гуляторні механізми серця забезпечують саме такий режим скорочення міокарда, за якого при різних навантаженнях серце було б здатне підтримувати на певному рівні об'ємну густину енергії потоку крові, витрачаючи при цьому міні­мум хімічної енергії при скороченні міокарда.

Рівняння руху і рівноваги рідини. Виділимо у рідині елементарний об'єм ΔV циліндричної форми з перерізом S і довжиною Δх (мал. 1.16). За другим законом Ньютона:

або для об'ємних сил:

(1.21)

Розглянемо сили, що діють на елемент об'єму рідини. Результуюча сила тиску дорівнює

F = S[P(x) - Р(х + dx)] = -SdP,

тоді як об'ємна сила тиску (сила, що діє на одиницю об'єму) є

.

Проводячи аналогічний розгляд для у, z-компонент сил, отримаємо:

, (1.22)

де - символ градієнта (так званий "оператор набла"). З рівняння (1.22) випливає, що об'ємна результуюча сила тиску за модулем дорівнює градієнту тиску.

Мал. 1.16. Сили, що діють на елемент об'єму рідини.

Рівняння руху рідини (1.4) з урахуванням інших об'єм­них сил, а саме, сили тертя f_mp, сили тяжіння ρg, інших зовнішніх сил f_зовн можна записати у вигляді:

ρ*dv/dt = -VP +f_mp + pg + f_зовн. (1.23)

Якщо сила тиску врівноважується іншими силами за умови, що dv/dl = 0, то

P+f_mp+ρg+ f_зовн = 0. (1.24)

Аналогічним рівнянням описують і рівноважний стан рідини, коли рідина знаходиться у спокої, тобто швидкість υ = 0.

Плин ньютонівської рідини по горизонтальній трубці

Формула Пуазейля. Плин в'язких рідин по циліндрич­них трубках має для медицини особливий інтерес. Судинна система може бути представлена сіткою циліндричних тру­бок різного діаметра, лінійна й об'ємна швидкості плину рідини по яких залежить не лише від властивостей рідини, а й від геометричних розмірів судин. Визначимо лінійну й об'ємну швидкості плину для стаціонарного потоку в'язкої

рідини крізь судину радіусом R, довжиною L, з перепадом тиску на його кінцях Р₁-Р₂ (мал. 1.16).

Запишемо рівняння руху (1.24) для стаціонарного плину ньютонівської рідини, коли зовнішні сили дорівню­ють нулеві, і сила тяжіння не впливає на плин рідини:

- P+f_mp = 0 або P = f_mp. (1.25)

Припустимо, що градієнт тиску вздовж трубки струму є постійна величина: P=(Р₂- Р₁)/L. Об'ємна сила тертя f_mp дорівнює (1.8):

,

де S₁ = 2πrdx – площа бічної поверхні циліндра, S₂ = πr² – площа перерізу циліндра радіуса г. Підставивши ці вирази у рівняння (1.25), отримаємо диференційне рівняння, що ви­значає зміну швидкості рідини вздовж радіуса трубки:

Проінтегруємо це рівняння

де сталу інтегрування С знаходимо з умови υ = 0 на границі судини, тобто при r = R. Це дає . В результаті тримуємо формулу Пуазейля, яка визначає профіль швид­кості ньютонівської рідини в циліндричній трубці

(1.26)

З цієї формули випливає, що профіль швидкостей ньюто­нівської рідини в циліндричній трубці описується парабо­лічним законом (мал. 1.17а).

Формула Пуазейля дозволяє визначити об'ємну швид­кість плину ньютонівської рідини. Виділимо у перерізі трубки шар рідини товщиною dr і площею dS = 2πrdr (мал. 1.17б). Об'єм рідини, що протікає крізь цю площу за одиницю часу, дорівнює

dQ = v(r)dS = v(r)-2πrdr.

Мал. 1.17. Характеристики плину ньютонівської рідини по циліндричній трубці: а) профіль швидкостей; б) переріз трубки

струму.

Підставивши в цю формулу вираз (1.26) для швидкості і інтегруючи отримане рівняння, дістанемо формулу, що доз­воляє визначити об'ємну швидкість рідини:

. (1.27)

Помноживши об'ємну швидкість рідини на час плину, отримаємо формулу для визначення об'єму рідини V, що протікає через переріз судини за час t:

(1.28)

З формул (1.27) та (1.28), які звуться формулами Гагена-Пуазейля, випливає, що кількість рідини, яка протікає крізь судину, найбільш суттєво залежить від його радіуса і зменшується із зростанням в'язкості рідини.

Формула (1.27), що зв'язує між собою об'ємну швид­кість рідини і різницю тисків на кінцях судини, має вигляд, аналогічний закону Ома:

Q= (P₁-P₂)/W, (1.29)

тому величину W = 8ηL/(πR⁴) називають гідравлічним опо­ром.

Графічні зображення зв'язку Q-ΔР називають діаграма­ми "витрата-тиск". їх вигляд для ньютонівської рідини і рідини, в'язкість якої залежить від градієнта швидкості (на­приклад, для крові), подані на мал. 1.18.

Мал. 1.18. Діаграми ''витрата-тиск" для ньютонівської (1) та неньютонівської (2) рідин.