Число, выражающее меру объективной возможности наступления случайного события, называется вероятностью.

Вероятность определяется как отношение числа случайных со­бытий т, благоприятствующих данному, к общему числу равно-возможных событий п:

Р(А) = т/п, (2.7)

где Р(А) — вероятность появления события А; т — число собы­тий, благоприятствующих появлению события А; п — число рав­новозможных событий.

Так, в примерах с шарами

Р(А) = т/п = 5/10,

т.е. вероятность появления белого шара (А) составит Р(А) = 0,5.

Вероятность появления красного шара (В)

Р(В) = т/п = 3/10 = 0,3.

Вероятность появления синего шара (С)

Р(С) = т/п = 2/10 = 0,2.

Следует обратить внимание на то, что вероятность не может превышать 1. Это объясняется содержанием формулы (2.7): благо­приятствующих событий не может быть больше, чем равновозможных. Самым крайним событием является такое, когда все рас­сматриваемые шары являются шарами одного цвета, например в непрозрачном сосуде находится 10 шаров, и все они белые. В этом случае число событий, благоприятствующих для выема белого шара, будет т = 10, а равновозможных соответственно п = 10. Ве­роятность появления белого шара

Р(А) = т/п = 10/10 = 1; Р(А) = 1.

Такие события принято называть достоверными. Вероятность до­стоверных событий равна 1.

Рассмотрим случай, когда в сосуде вообще нет шара данного цвета и благоприятствующее ему событие т = 0. Так, в приведен­ном выше примере нет шара зеленого цвета (D), благоприятству­ющее ему событие т = 0, поэтому вероятность его появления

P(D) = т/п = 0/10; P(D) = 0.

Такие события принято называть невозможными. Вероятность невозможных событий равна 0.

Исходя из двух крайних положений — достоверного события с вероятностью 1 и невозможного события с вероятностью 0), — можно заключить, что численная величина любого случайного события находится в пределах от 0 до 1, поэтому

О < Р(А) < 1,

где Р(А) — вероятность случайного события.

Понятие об этом интервале чрезвычайно важно для практичес­кого использования вероятности. Если вероятность находится в пределах от 0 до 1, то чем ближе реально получаемая вероятность к 1, тем выше возможность происхождения изучаемого события, и наоборот, чем ближе вероятность к 0, тем меньше возможность его появления.

Так, вероятность появления «орла» или «решки» в примере с подбрасыванием монеты вверх равна

Р(«орел») = 1/2 = 0,5;

Р («решка») = 1/2 = 0,5.

Исходя из того что при одном подбрасывании есть два равно-возможных события и по одному благоприятствующему, вероят­ность выражается в процентах. Поскольку процент есть сотая часть числа, все число равно 100 %. Представим, что 100 % соответству­ют одной части, отражающей максимальную вероятность появле­ния события. Тогда вероятность появления события выражается от О до 100 %, и событие с появлением «орла» или «решки» соответ­ствует 50 % от возможного.

Выражением вероятностей в процентах можно подчеркнуть, что интервал вероятности от 0 до 1 есть все возможное проявле­ние случайного события, а его конкретная вероятность, опреде­ляемая по формуле (2.7), занимает определенное место в этом поле и поэтому может быть оценена. Например, вероятность по­явления белого шара в примере 2.10 составляет 50 % от возмож­ного, красного — 30 %, а синего — 20 %.

Следует отметить, что точность отражения истинной вероятнос­ти формулой (2.7) зависит от многократности повторения случай­ного события, так как теория вероятностей, как и статистика, дает результаты точнее тогда, когда имеет больший объем испытаний.

Выше было отмечено, что существуют разные виды веро­ятностей:

- достовернымназывается событие Р(А) - 1, которое в данном эксперименте обязательно произойдет;

- невозможнымявляется событие Р(А) = 0, которое в данном эксперименте никогда не произойдет;

- два события, одно из которых обязательно произойдет, но его наступление исключает появление другого, называются противо­положными(например, рождение ребенка определенного пола);

- события Л, В, С,... называются единственно возможными, если одно из них обязательно произойдет, когда результат станет извест­ным (например, при однократном подбрасывании монеты вверх событие «орел» или «решка» обязательно произойдет и исключит появление другого события);

- два события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность появления другого (напри­мер, достижение или недостижение определенного спортивного результата с одной попытки — события А и В. Эти события несов­местимы, так как в результате одной попытки достижение или можно осуществить или нельзя);

- если в некотором испытании события А, В, С, ... являются единственно возможными и несовместимыми, то они образуют полную систему событий(например, при одном выстреле будет поражен определенный круг мишени. Все круги мишени пред­ставляют собой полную систему событий, потому что они един­ственно возможные и несовместимые).

Два противоположных события также представляют собой пол­ную систему событий. Особенностью полной системы событий является то, что сумма их вероятностей равна 1. В этом смысле вновь рассмотрим пример 2.10. Появление шаров трех цветов составляет полную систему событий, так как эти события явля­ются единственно возможными и в то же время несовместимыми. Следовательно, сумма их вероятностей должна быть равна 1, поэтому

Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1.

Еще раз напомним, что все выводы теории вероятностей спра­ведливы при массовом изучении случайных явлений.