Обработка результатов измерений амплитуды наклонов

X = 1266 = 42,2 ≈ 42 мм; σx² = 514 = 17,133 мм;

30 30

σx = √17,133 = 4,14 ≈ 4мм;

X ± σx =(42 ± 4) мм.

На основании данных, приведенных в табл. 2.24, построим по­лигон (рис. 2.5). Полигон выражает соотношение между показате­лями амплитуды наклона хiи частотой их появления ni. Такое со­отношение называется практическим распределением. Оно получе­но в результате экспериментальных наблюдений.

Начнем преобразование полигона (см. рис. 2.5). Прежде всего отметим, что частота появления события ni может рассматривать­ся как число, благоприятствующее появлению события хi, а равновозможным можно представить объем совокупности, в данном случае ni= 30. Таким образом, шкала ординат может быть вы­ражена вероятностями появле­ния хiт.е.

Р(хi) = ni/n.(2.8)

От такого представления по­лигон не изменится, другим бу­дет только масштаб шкалы ni.

Рис. 2.5. Полигон (см. табл. 2.24)

Затем представим, что спорт­сменов, исследуемых на гиб­кость, было очень много и каж­дое из представленных на шкале хi имело бы свою частоту. В этом случае точки на графике очень тесно прилегали бы друг к другу, образуя сплошную плавную кривую. Эта кривая в принципе отра­зила бы факт соотношения величин х, и и, для случая, когда все возможные х, приняты во внимание. Такое распределение назы­вается теоретическим распределением. Оно представляет собой за­кономерность соотношения между показателями хi иni.

Математическая статистика предоставляет в распоряжение ис­следователя теоретические распределения, выраженные языком ма­тематики, свойства которой могут быть использованы на практике.

Для практических исследований такие распределения нужны при решении двух задач.

Во-первых, установив, что эмпирическое распределение соот­ветствует определенному теоретическому, представляется возмож­ным использовать известные и апробированные свойства теории на практике. В этом случае проблема заключается в том, чтобы ус­тановить и доказать схожесть эмпирического и теоретического рас­пределений. Во-вторых, с помощью точного теоретического рас­пределения возможно установить вероятностное положение кон­кретной единицы совокупности по отношению ко всем прочим единицам. В силу этих двух задач теоретические распределения име­ют существенное значение для практических исследований.

Известно около двадцати теоретических распределений. Одни из них отражают соотношение редких и малоизученных явлений, дру­гие — равномерность возникновения единиц совокупности и т. д.

Самым распространенным, хорошо изученным и практически полезным распределением принято считать нормальное распределе­ние, отражаемое кривой Гауссаи известное как нормальный закон.

Смысл этого распределения заключается в том, что оно отра­жает массовые однотипные явления — именно такие, которые рассматривает статистика. Основой этого распределения является закон больших чисел, доказанный теоремой А. А. Ляпунова.

Закон больших чисел рассматривает ситуацию, при которой утверждается, что с любой вероятностью близкой к 1, отклоне­ние средней арифметической достаточно большого числа случай­ных величин от некоторой постоянной величины не превзойдет заданного, как угодно малого положительного числа.

Другими словами, рассматриваются случайные величины, на которые воздействует множество Независимых факторов. Факторы влияют на величину по-разному, но если их достаточно много, то отдельные влияния взаимно погашаются и средняя случайных ве­личин практически не отклоняется от постоянного значения.

Смысл теоремы А. А. Ляпунова заключается в том, что на слу­чайные величины одновременно влияет множество независимых факторов, действие которых в отдельности значительно меньше их суммарного действия, они распределяются в соответствии с нор­мальным законом. Таким образом, если на какую-то случайную величину действует множество факторов, не имеющих очевидных преимуществ друг перед другом по степени влияния на эту величи­ну, следует ожидать нормального закона распределения.

Теперь рассмотрим само распределение. Идея нормального рас­пределения в том, что множество единиц совокупности распреде­ляется таким образом, чтобы около средней арифметической было сконцентрировано наибольшее количество единиц, около больших или малых значений — минимальное количество единиц, а все прочие единицы должны соответствовать кривой Гаусса (рис. 2.6).

=

I

Рис. 2.6. Кривая Гаусса

Нормальный закон распределения представляет собой частный случай распределения, когда X = 0, а σ = 1. В данном случае X = 0 и ось ординат проходит через X.

Рассмотрим свойства нормального закона распре­деления.

1. От величины X зависит положение кривой: с увеличением (уменьшением) X кривая будет сдвигаться вправо (влево) вдоль оси абсцисс, при этом ее форма соответственно не изменяется.

2. От величины среднего квадратического отклонения σ зави­сит форма кривой: чем среднее квадратическое отклонение σ боль­ше, тем ниже и шире кривая; чем среднее квадратическое откло­нение σ меньше, тем выше и тоньше кривая (рис. 2.7).

Р(хi)

X xi σ < σ < σ

Рис. 2.7. Кривая Гаусса при разных величинах дисперсии σ

3. Формула нормальной кри­вой имеет вид

-(xi-X)²

Р(хi) = 1 · е 2 σ²

σ√2π , (2.9)

где Р (xi) — ординаты кривой; Xi— абсциссы кривой; X — средняя арифметическая величина; σ — среднее квадратическое отклонение; е — основание натуральных логарифмов.

Параметры X = 0 и σ = 1 показывают нормированную кривую, поэтому ее формула имеет вид

-xi²

Р(хi) = 1 · е 2

√2π , (2.10)

При построении кривой по эмпирическим данным формула выглядит так:

-t²

Р(хi) = kn · 1 · е 2

σ √2π , (2.10)

где k — величина интервала в вариационном ряду; n — объем со­вокупности; t — нормированное отклонение.

Нормированное отклонение находим по формуле:

t = xi – X . (2.12)

σ

51 Величина f(t) табулирована и может быть определена по таб­лице приложения 1.

В некоторых задачах нормальное распределение представляется в виде так называемых z-оценок. В этом случае на оси ординат откладываются величины нормированных отклонений (рис. 2.8).

Р(хi)

⁰ -3,0 -2,0 -1,0 0 1,0 2,0 3,0 t

Рис. 2.8. Нормальное распределение (z-оценки)