Поняття про функцію розподілу. Функція розподілу Максвела

Для вирішення задачі молекулярно-кінетичної теорії, знаходження середніх значень фізичних величин, введемо поняття функції розподілу.

Будемо цікавитись, наприклад, швидкостями теплового руху молекул. Ясно, що вони за величиною будуть самими різними - від нуля до нескінченності. Але кількість молекул з дуже малими і дуже великими швидкостями буде невеликою. Дійсно, ймовірність того, що якась молекула при зіткненні з другими молекулами буде або тільки віддавати частину свого імпульсу (зменшувати швидкість), або тільки одержувати (збільшувати швидкість), при хаотичному русі мала. Деяке значення швидкості буде зустрічатись найчастіше, тобто її мають більшість молекул. Уявимо, що в певний момент часу ми змогли виміряти значення швидкостей усіх молекул. Відмітимо ці значення на числовій осі швидкостей (рис.6.6). В якомусь діапазоні густина точок буде максимальною і зменшуватись як при малих, так і при великих значеннях швидкості. Маємо нерівномірний розподіл кількості точок по числовій осі. Очевидно, що при незмінній температурі цей розподіл не буде змінюватись з часом, так як при пружних зіткненнях швидкість однієї молекули може збільшитись, а іншої зменшитись. А це буде означати перестановку відмічених нами точок місцями. Характер же розподілу не зміниться.

Розіб’ємо числову вісь на однакові довільні інтервали швидкості ∆V і підрахуємо кількість точок ∆N, які потрапили в кожний інтервал. Очевидно, що ∆N залежить від ширини інтервалу ∆V, його положення на числовій осі, тобто від V і загальної кількості молекул N, тобто . Для того, щоб виключити залежність від суб’єктивно вибраних параметрів ∆V і N, поділимо ∆N на N і ∆V. Відношення дає долю молекул, або ймовірність того, що значення швидкості потрапляє в інтервал від V до V+∆V, і не залежить від загальної кількості молекул N.

Відношення , або (6.15)

уже не залежить і від ширини інтервалу, а являється тільки функцією швидкості. Це і є функція розподілу молекул, в даному випадку по швидкостям. Вона показує ймовірність того, що значення швидкості потрапляє в інтервал від V до V+1, тобто в одиничний інтервал швидкостей. Тому її називають густиною ймовірності.

Функція (6.16)

Називається повною статистичною функцією розподілу. Вона дає можливість знайти кількість молекул, які мають значення швидкості в певному інтервалі від V₁ до V₂ шляхом інтегрування

. (6.17)

Ясно, що інтеграл (6.17) у всьому можливому діапазоні швидкостей дає загальну кількість молекул N, тобто

. (6.18)

Це умова нормування функції розподілу. Останній вираз означає, що ймовірність виявити будь-яке значення швидкості, тобто в інтервалі від 0 до ∞, дорівнює 1.Це достовірна подія.

Максвеллівська функція розподілу молекул по швидкостям має вид (її вивід див.у кн. Р.В.Телеснин. Молекулярная физика)

. (6.19)

Тут: А – коефіцієнт, який знайдемо із умови (6.18) нормування функції розподілу, m – маса однієї молекули, k – стала Больцмана, Т – абсолютна температура.

Знайдемо нормуючий коефіцієнт А.

. Виконаємо заміну аргументу інтегрування. Позначимо Тоді . Одержимо

. Табличний інтеграл . Таким чином маємо

(6.20)

а нормована функція

. (6.21)

Графік цієї функції показаний на рис.6.7. Це функція з екстремумом, який відповідає значенню швидкості, яку мають більшість молекул. Ця швидкість V_н.й називається найбільш ймовірною швидкістю.