Основне рівняння динаміки обертального руху

Нехай деяке тіло може обертатись навколо закріпленої осі. Виділимо елемент ∆m_i цього тіла, положення якого задається радіус-вектором . На цей елемент діють зовнішні сили і внутрішні сили , тангенціальні складові яких і надають йому дотичного прискорення . Записуємо другий закон Ньютона для цього елементу

(4.38)

Щоб перейти до моментів сил рівняння (4.38) векторно домножаємо на радіус-вектор

. Так як , маємо

. (4.39)

Звернемо увагу, що кутове прискорення не має індексу і так як воно

для всіх точок тіла однакове.

Скориставшись формулою подвійного векторного добутку

, спростимо праву частину (4.39)

, так як радіус-вектор і кутове прискорення взаємно перпендикулярні. Візьмемо суму по всьому об’єму тіла

. Тут перший доданок є векторна сума моментів зовнішніх сил, які діють на тіло , другий доданок – це векторна сума внутрішніх сил. Вона дорівнює нулю, так як в противному випадку елемент ∆m_i рухався б відносно інших елементів. А це означало б можливість деформації тіла, що ми виключили, ввівши поняття абсолютно твердого тіла. Отже .

Вираз , або (4.40)

залежить від розподілу маси тіла відносно осі обертання і називається моментом інерції тіла. Це міра інертності тіла в обертальному русі, аналог маси в поступальному русі. Вимірюється момент інерції в кг∙м². Таким чином, основне рівняння динаміки обертального руху набуває виду

. (4.41)

Враховуючи, що , рівняння (4.41) прийме вид

. (4.42)

Величина , яка дорівнює добутку моменту інерції на кутову швидкість, називається моментом імпульсу (аналог імпульсу в поступальному русі).

Якщо система замкнута, тобто сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю, то момент імпульсу системи не змінюється (зберігається). Це є закон збереження моменту імпульсу, який аналогічний закону збереження імпульсу в поступальному русі.