Метод замены связей

Используется при расчете сложных статически определимых систем, которые трудно рассчитать другими способами.

Сущность метода: сложная система превращается в более простую путем перестановки связи (или нескольких связей) в другое место; из условия эквивалентности заданной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; затем система рассчитывается известными способами.

Например, для расчета рамы (рис. 3.5 а) удалим правый вертикальный стержень заданной системы (ЗС) и введем одну связь в левый шарнир. Тогда шарнир станет припайкой С, а примыкающие к нему стержни будут жестко связаны. Обозначив усилие в удаленной связи через X, получим так называемую основную систему (ОС) для расчета рамы (рис. 3.5 б).

Рис. 3.5

Условием эквивалентности ОС по отношению к ЗС будет условие равенства нулю момента в точке С: M_C=0. По принципу суперпозиции этот момент равняется сумме моментов от силы X и внешней нагрузки:

M_C=M_C,X + M_C,P =0.

Теперь рассмотрим два состояния ОС:

1) единичное состояние (ЕС), где прикладываются силы X=1 (рис. 3.5 в);

2) грузовое состояние (ГС), где прикладывается нагрузка (рис. 3.5 г).

Тогда предыдущее уравнение примет вид

X + M_C,P =0,

где =1×a=a – момент в точке С в единичном состоянии;

M_C,P= – момент в точке С в грузовом состоянии.

Теперь неизвестное усилие легко вычисляется:

.

После этого можно перейти к расчету более простой системы (рис. 3.5 д).

В более сложных случаях переставляются несколько связей и записываются столько же условий эквивалентности:

s₁₁X₁+s₁₂X₂+¼+ s_1nX_n+S_1P=0,

s₂₁X₁+s₂₂X₂+¼+ s_2nX_n+S_2P=0, . . . . . . . . . . . . . . . . .

s_n1X₁+s_n2X₂+¼+ s_nnX_n+S_nP=0.

Здесь 1, 2, ¼, n – заменяемые связи; X₁, X₂, ¼, X_n – неизвестные внутренние усилия в этих связях; s_ij – усилие в связи i в j-ом единичном состоянии; S_iP – усилие в i-ой связи в грузовом состоянии.

Из этой системы уравнений определяются неизвестные X₁, X₂, ¼, X_n.

Общий вывод.Расчет любой статически определимой системы приводит к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если определитель полученной системы уравнений отличен от нуля (det¹0), внутренние усилия будут конечными величинами. Если же определитель равняется нулю (det=0), то внутренние усилия определить нельзя. В этом случае система является мгновенно изменяемой.