Расчет ферм
Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах жестко или шарнирно (рис. 4.1 а). Замена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 4.1 б).
Рис. 4.1
Для статической определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно выполняться условие
.
При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в основном на растяжение или сжатие, а моменты и поперечные силы в них отсутствуют. Поэтому в стержнях шарнирной фермы определяются только продольные усилия.
Положительное усилие Nij в стержне фермы между узлами i и j (рис. 4.2 а) следует направить в сторону от шарниров (рис. 4.2 б).
Рис. 4.2
При расчете простых ферм используются методы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, замены стержней и др. Здесь рассмотрим только два метода.
Метод вырезания узлов основан на последовательном вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы.
Сущность метода: вырезается узел, в котором не более двух неизвестных; составляются уравнения равновесия SX=0 и SY=0; из них определяются неизвестные продольные усилия. После этого можно вырезать следующий узел и продолжить расчет.
В методе вырезания узлов необходимо установить порядок вырезания узлов. Например, для расчета фермы (рис. 4.3 а) сначала вырежем узел A (рис. 4.3 б) и запишем уравнения равновесия:
SX = NA-10+NA-1 cosa=0;
SY = NA-1 sina+1,5P=0.
Из них: NA-1= –1,5P/sina; NA-10=1,5P/tga .
Рис. 4.3
Теперь вырежем узел 10 (рис. 4.3 в) и запишем условия равновесия:
SX = N9-10 –NA-10=0;
SY = N1-10=0.
Из них получаем: N9-10 =NA-10=1,5P/tga; N1-10=0.
После этого можно вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5.
У метода вырезания узлов есть недостаток: ошибка (неточность), допущенная при расчете одного узла, влияет на последующие вычисления. Поэтому результаты, полученные этим методом, надо контролировать. Например, результаты расчета фермы могут быть проверены по формуле
,
где – усилия в стержнях, – длины стержней, и – проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок.
Из метода вырезания узлов вытекают несколько признаков (частных случаев), упрощающих расчет ферм:
1) если в узле сходятся два стержня и внешняя нагрузка не приложена (рис. 4.4 а), то оба усилия равны нулю: N1= N2=0;
2) если в узле сходятся два стержня, а внешняя нагрузка действует в направлении одного стержня (рис. 4.4 б), то N1=P, N2=0;
3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 в), то усилия в двух стержнях равны: N1= N2, а усилие в боковом стержне равно нулю: N3=0;
4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 г), то усилия также попарно равны между собой: N1= N2, N3= N4.
Рис. 4.4
Используя эти признаки легко определяются некоторые усилия рассмотренной фермы (рис. 4.3 а):
– по 2-му признаку N1-10=N1-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N4-7=0;
– по 3-му признаку NA-10=N9-10=N8-9; NB-6=N6-7=N7-8; NA-1=N1-2; NB-5= N4-5.
Метод сквозных сечений позволяет определять усилие в стержне фермы только из одного уравнения.
Сущность метода: поперек фермы проводится такое сквозное сечение, чтобы появилось не более трех неизвестных усилий; в точке пересечения направлений двух из них составляется уравнение момента, из которого определяется третье усилие.
Точка, в которой составляется уравнение момента, называется моментной точкой.
В качестве примера рассмотрим ту же ферму, проведя через нее сквозное сечение I–I (рис. 4.3 а). Рассматривая равновесие левой части от сечения (рис. 4.5), составим уравнение момента в точке 1:
SM1 = N9-10× –1,5P×a=0.
Отсюда получаем: N9-10=4,5P . Рис. 4.5
Точка 9 является моментной точкой для N1-2. Поэтому
SM9 = –N1-2 b –1,5P×2a=0.
Так как b=2a×sina, получаем N1-2=–1,5P/ sina .
Для N1-9: SMA = –N1-9×c=0. Отсюда получаем N1-9=0.
Иногда (например, когда два стержня параллельны) моментной точки не существует. В этом случае вместо уравнения момента следует составлять уравнение проекции на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.
У метода сквозных сечений есть один недостаток: в сложных фермах не удается провести такое сквозное сечение, чтобы появились только три неизвестных усилия. В этом случае некоторые неизвестные нужно определять заранее или использовать другие методы (методы совместных сечений или замены связей).
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 1631;