Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части

Пусть в некоторой области D плоскости известна действительная часть u(x,y) аналитической функции. Требуется построить ее мнимую часть v(x,y) в этой области. Как мы знаем ; .

Составим выражение . Очевидно, , так как (Лапласиян). Следовательно, выражение будет полным дифференциалом некоторой функции.

Пусть D – это односвязная область, тогда криволинейный интеграл не будет зависеть от формы и пути, соединяющего точки ( ) и (x,y), принадлежащие D (лежащие в D) и, следовательно, будет представлять собой некоторую функцию верхнего предела. Как мы знаем из теории криволинейных интегралов, эта функция дифференцируема в области D, и ее частные производные и соответственно равны p(x,y), Q(x,y). Следовательно, в области D частные производные функций v(x,y) и совпадают. Поэтому эти функции могут отличаться лишь на константу, следовательно, . Как видно, мнимая часть аналитической функции определяется с точностью до постоянной.

Отметим, что, если известно значение аналитической функции W = f(Z) в какой-нибудь одной точке ( ), то мнимая часть v(x,y) этой функции и, следовательно, сама аналитическая функция f(Z) определяется однозначно по действительной части u(x,y).

В случае многосвязной области D криволинейный интеграл представляет многозначную функцию. Поэтому мнимая часть v(x,y) будет также, вообще говоря, многозначной функцией. Действительная часть по мнимой части строится аналогичным образом.

Отметим, что мнимая часть v(x,y) функции является действительной частью функции . Отметим, что мнимая часть по действительной находится другим способом. Пишут уравнения ; . Интегрируют одно из равенств (первое по x)