Точки, в которых нарушается конформное отображение

Будем изучать отображение ( ) (1). Очевидно, производная принимает нулевое значение лишь в точках . Поэтому в этих точках может нарушаться конформность отображения. В остальных точках отображение будет конформным, так как .

В случае n = 1 мы получаем точку ( ). Как мы знаем, это отображение будет конформным во всей расширенной плоскости. Поэтому мы будем изучать случай, когда . Покажем, что при нарушает конформность отображение (1) в любой точке . Как мы знаем, в этих точках производная обращается в нуль и в последней в ∞.Обозначим через Z₀ какую-нибудь из точек и покажем, что в ней нарушает конформность отображения (1).

Так как Z₀ является кратным корнем уравнения , то имеет место представление , где , а Q(Z) – это многочлен степени n–k, такой, что . Возьмем в плоскости (Z) кривую , , проходящую через точку . Мы будем считать, что , то есть кривая имеет в точке Z₀ касательную. Отображение переведет эту кривую в , , проходящую через точку . Непосредственно не видно, что кривая имеет в точке касательную, так как производная .

Покажем, что кривая имеет в точке касательную. С этой целью возьмем и проведем через точки и секущую. Очевидно, угол, который составляет эта секущая с осью и будет равен .

Произведя здесь предельный переход при , получим, что (2), следовательно, касательная к кривой в точке существует и составляет с осью угол, равный величине (2). Выпустим из точки Z₀ какие-нибудь две кривые и , , которые образуют между собой угол в точке Z₀, равный . Отображение переведет кривые , в проходящие через точку . Эти кривые составляют между собой угол, равный , то есть при отображении в точке Z₀ угол между кривыми увеличивается в раз. То есть в этой точке нарушается конформность отображения.

Аналогичным образом показывается, что нарушается конформность отображения ( ), и в точке угол между кривыми увеличивается в n раз, при этом надо пользоваться отображением .

Отображение (1).

Рассмотрим отображение (1), где a – фиксированное комплексное число, а n – натуральное число. При n = 1 мы получаем отображение , оно конформно в расширенной плоскости. Будем считать, что . Очевидно, что во всех точках . Следовательно, это отображение является конформным во всех точках Z комплексной плоскости отличных от a.

По доказанному, конформность нарушается лишь в двух точках и в точке . Углы между кривыми в этих точках увеличиваются в n раз. Изучим более подробно отображение (1). Очевидно, любая точка и ∞ имеет в плоскости (W) ровно n прообразов , которые определяются формулой

, (k=0, 1,…, n-1) (2).

Из формулы (2) непосредственно видно, что все эти прообразы располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке a.

Точки же и имеют в плоскости (Z) лишь по одному прообразу. Соответственно и . Выясним, как изменяются углы между кривыми в точках и . Из равенства (1) непосредственно следует, что

(3)

(4).

Эти формулы позволят увидеть, во что отображают функции (1) окружность с центром в точке a и лучи, исходящие из точки a в окружность и луч, исходящий из нуля.

, (1)

Из (1) (3)

(4).

Из равенств (3) и (4) непосредственно следует, что функция (1) отображает окружность радиусом r c центром в точке a на окружность радиуса с центром в точке ноль.

В самом деле: в силу равенства (3) окружность отображается в окружность , из равенства (4) вытекает, что когда точка Z описывает рассматриваемую окружность в положительном направлении один раз, соответствующая точка W описывает окружность в положительном направлении n раз.

Из тех же равенств (3) и (4) вытекает, что функция (1) отображает луч (5) на луч (6).

В самом деле, из равенства (4) непосредственно следует, что луч (5) отображается в луч (6). Из формулы (3) следует, что когда точка Z, выходя из точки a и удаляясь в бесконечность, полностью описывает луч (6) ( непрерывно меняется от до ∞).

Рассмотрим теперь в плоскости (Z) угол раствора с вершиной в точке a, ограниченный лучами (7) и (8), где .

Нетрудно видеть, что функция отобразит этот угол на угол раствора Q с вершиной в нуле, ограниченного лучами (9) и (10). Обозначим внутренность угла плоскости (Z) через d, а плоскости (W) – через q. Нетрудно видеть, что функция отображает взаимно однозначно и конформно область d на область q. То, что это отображение конформно во всех точках d следует из того, что производная (где точка a исключается, так как не принадлежит внутренности).

Нам остается доказать, что это отображение является взаимно однозначным. Мы знаем, что d отображается на q. Очевидно, отображение (1) является однозначным, поэтому нам достаточно доказать, что любая точка имеет в d и при том только один прообраз.

То, что этот, хотя бы один прообраз существует, следует из того, что d отображается на q. Нам остается доказать единственность этого прообраза. Как мы знаем, прообразы точки w располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в точке a. Поэтому в d могут попасть несколько прообразов лишь в том случае, когда раствор угла будет больше, чем . У нас же раствор угла не превышает . Поэтому W имеет в d только один прообраз. Мы пришли к теореме.