Аналитические решения распределенных статических одномерных моделей для некоторых характерных тепловых процессов в технических объектах

1. Моделирование статического процесса теплопередачи через плоскую твердую стенку между двумя жидкими средами.

Известно: h – толщина стенки; λ – коэффициент теплопроводности материала стенки; T_ca, a_a – температура среды и коэффициент теплоотдачи между средой и стенкой слева от нее; T_cb, a_b – температура среды и коэффициент теплоотдачи между средой и стенкой справа от нее.

Требуется получить зависимость температуры по толщине стенки.

Модель одномерная статическая. Вещество внутри стенки не перемещается, поэтому в уравнении (16) будет присутствовать только микропоток тепловой энергии.

Отсюда

ГУ слева:

ГУ справа:

Температурное поле в стенке T(x) линейно относительно координаты x. Граничные условия образуют систему из четырех алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных , , c₁, c₂.

2. Моделирование статического процесса теплообмена между потоком нагретой жидкости, движущегося в прямолинейном трубопроводе с постоянной площадью сечения через его боковую цилиндрическую стенку.

Известно: d – средний диаметр трубопровода; L – длина трубопровода; r_ж, с_ж– плотность и теплоемкость жидкости-теплоносителя; V_ж – средняя скорость движения жидкости в трубопроводе; T_a – температура втекающего в трубопровод потока жидкости (граничное условие); T_c_б, a_б – температура стенки и коэффициент теплоотдачи между жидкостью и боковой поверхностью трубопровода.

Требуется получить зависимость изменения температуры теплоносителя по длине трубопровода.

Задача моделирования решается без учета микропотока тепловой энергии, а отвод ее через боковую стенку определяется через использование условной скорости исчезновения субстанции внутри самой системы, что возможно для осесимметричных объектов.

Используя уравнение (10), получим:

ГУ: при x = 0 T(0) = T_a.

Решение уравнения:

Найдем общее решение однородного уравнения

Заменим постоянную С неизвестной функцией u(x), тогда а . Подставим эти значения в неоднородное уравнение

Тогда

Константу интегрирования найдем из граничного условия

Отсюда .

Тогда

3. Моделирование сосредоточенного динамического процесса нагрева (охлаждения) геометрического объекта с осредненной температурой при наличии нескольких тепловых потоков, действующих через отдельные граничные поверхности.

Известно: W – объем объекта; r, с_т – плотность и теплоемкость материала объекта; S_Г_i и a_б_i – площадь граничной поверхности и соответствующий коэффициент теплоотдачи между i-ой боковой поверхностью и средой (i = 1.. n); T₀ – начальная температура объекта; T_сб – температура внешней среды.

Требуется найти зависимость температуры объекта от времени.

НУ:

Решение уравнения:

Получилось уравнение, аналогичное тому, что решали в предыдущем примере. Заменим константу С на неизвестную функцию u(t).

. Подставим эти значения в неоднородное уравнение

Тогда

Константу интегрирования найдем из начального условия

Отсюда .

Тогда

Математические модели газодинамических систем (ММ ГДС)

В газодинамических системах происходят процессы сжатия, расширения и движения потоков газовой среды при действии на нее внешних возмущающих факторов в виде дополнительного подвода или отвода газа. При формировании ММ для газообразных сжимаемых сред можно принять допущения:

1. Гравитационной составляющей энергии в виду ее относительной малости в сравнении с другими формами энергии можно пренебречь;

2. Влияние относительно низкой вязкости газа на изменение количества движения потока незначительно и может не учитываться.

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

В качестве субстанций принимаются все возможные виды:

· вещество (плотность газа): r ;

· количество движения:

· энергия: .

Для сжимаемой среды можно объединить деформационную и тепловую составляющие энергии. Учитывая то, что , и получим:

Макропотоки субстанций:

· вещества:

· количества движения:

· энергии:

Микропотоки субстанций для ГДС связаны с диффузионными процессами и вязкостью среды и в большинстве задач не рассматриваются.

– уравнение сохранения вещества (19)

– уравнения сохранения количества движения (20)

– уравнение сохранения энергии (21)

В уравнениях (20) изменение количества движения происходит и за счет наличия градиентов давлений между соседними слоями движущегося потока, что отражено через параметры:

Начальные и граничные условия:

НУ:

ГУ: для

или

Последнее выражение определяет удельный массовый расход газа для подкритического режима течения через отверстие площадью S_г как открытую для вещества граничную поверхность, т.е. при .