Аналитические решения распределенных статических одномерных моделей для некоторых характерных тепловых процессов в технических объектах
1. Моделирование статического процесса теплопередачи через плоскую твердую стенку между двумя жидкими средами.
Известно: h – толщина стенки; λ – коэффициент теплопроводности материала стенки; Tca, aa – температура среды и коэффициент теплоотдачи между средой и стенкой слева от нее; Tcb, ab – температура среды и коэффициент теплоотдачи между средой и стенкой справа от нее.
Требуется получить зависимость температуры по толщине стенки.
Модель одномерная статическая. Вещество внутри стенки не перемещается, поэтому в уравнении (16) будет присутствовать только микропоток тепловой энергии.
Отсюда
ГУ слева:
ГУ справа:
Температурное поле в стенке T(x) линейно относительно координаты x. Граничные условия образуют систему из четырех алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных , , c1, c2.
2. Моделирование статического процесса теплообмена между потоком нагретой жидкости, движущегося в прямолинейном трубопроводе с постоянной площадью сечения через его боковую цилиндрическую стенку.
Известно: d – средний диаметр трубопровода; L – длина трубопровода; rж, сж – плотность и теплоемкость жидкости-теплоносителя; Vж – средняя скорость движения жидкости в трубопроводе; Ta – температура втекающего в трубопровод потока жидкости (граничное условие); Tcб, aб – температура стенки и коэффициент теплоотдачи между жидкостью и боковой поверхностью трубопровода.
Требуется получить зависимость изменения температуры теплоносителя по длине трубопровода.
Задача моделирования решается без учета микропотока тепловой энергии, а отвод ее через боковую стенку определяется через использование условной скорости исчезновения субстанции внутри самой системы, что возможно для осесимметричных объектов.
Используя уравнение (10), получим:
ГУ: при x = 0 T(0) = Ta.
Решение уравнения:
Найдем общее решение однородного уравнения
Заменим постоянную С неизвестной функцией u(x), тогда а . Подставим эти значения в неоднородное уравнение
Тогда
Константу интегрирования найдем из граничного условия
Отсюда .
Тогда
3. Моделирование сосредоточенного динамического процесса нагрева (охлаждения) геометрического объекта с осредненной температурой при наличии нескольких тепловых потоков, действующих через отдельные граничные поверхности.
Известно: W – объем объекта; r, ст – плотность и теплоемкость материала объекта; SГi и aбi – площадь граничной поверхности и соответствующий коэффициент теплоотдачи между i-ой боковой поверхностью и средой (i = 1.. n); T0 – начальная температура объекта; Tсб – температура внешней среды.
Требуется найти зависимость температуры объекта от времени.
НУ:
Решение уравнения:
Получилось уравнение, аналогичное тому, что решали в предыдущем примере. Заменим константу С на неизвестную функцию u(t).
. Подставим эти значения в неоднородное уравнение
Тогда
Константу интегрирования найдем из начального условия
Отсюда .
Тогда
Математические модели газодинамических систем (ММ ГДС)
В газодинамических системах происходят процессы сжатия, расширения и движения потоков газовой среды при действии на нее внешних возмущающих факторов в виде дополнительного подвода или отвода газа. При формировании ММ для газообразных сжимаемых сред можно принять допущения:
1. Гравитационной составляющей энергии в виду ее относительной малости в сравнении с другими формами энергии можно пренебречь;
2. Влияние относительно низкой вязкости газа на изменение количества движения потока незначительно и может не учитываться.
Распределенные модели (динамическая, трехмерная)
В качестве субстанций принимаются все возможные виды:
· вещество (плотность газа): r ;
· количество движения:
· энергия: .
Для сжимаемой среды можно объединить деформационную и тепловую составляющие энергии. Учитывая то, что , и получим:
Макропотоки субстанций:
· вещества:
· количества движения:
· энергии:
Микропотоки субстанций для ГДС связаны с диффузионными процессами и вязкостью среды и в большинстве задач не рассматриваются.
– уравнение сохранения вещества (19)
– уравнения сохранения количества движения (20)
– уравнение сохранения энергии (21)
В уравнениях (20) изменение количества движения происходит и за счет наличия градиентов давлений между соседними слоями движущегося потока, что отражено через параметры:
Начальные и граничные условия:
НУ:
ГУ: для
или
Последнее выражение определяет удельный массовый расход газа для подкритического режима течения через отверстие площадью Sг как открытую для вещества граничную поверхность, т.е. при .
Здесь pc – значение противодавления в газовой среде, куда истекает рассматриваемый поток, – коэффициент расхода.
Если , то истечение происходит с критической скоростью и удельный массовый расход равен
Распределенные одномерные модели (динамические или статические)
Одномерная модель характеризует процессы течения газового потока в газопроводе и представляет собой систему из трех уравнений в частных производных:
(22)
НУ:
ГУ: для x = xa
Дата добавления: 2015-06-10; просмотров: 1644;