Сосредоточенные динамические модели. Сосредоточенную газодинамическую область, в которой за счет наличия втекающих и вытекающих потоков происходит изменение давления и плотности

Сосредоточенную газодинамическую область, в которой за счет наличия втекающих и вытекающих потоков происходит изменение давления и плотности, можно представить следующим образом:

Уравнение сохранения вещества:

, ,

,

(23)

Сначала рассмотрим случай, когда есть один втекающий поток газа, т. е. две подсистемы – ведущая (0) и подчиненная (1). Уравнение сохранения энергии запишем в виде первого начала термодинамики

.

Изменение количества теплоты в системе равно алгебраической сумме изменений за счет потока втекающего газа и за счет потерь теплоты вследствие теплообмена с соседними системами

.

С другой стороны

Приравняем эти выражения, выделим dp и разделим на dt.

;

;

;

. (24)

Расход через отверстие вычисляется по формулам:

для подкритического режима, т.е. при выполнении условия . В противном случае при критическом режиме течения

.

Для нескольких взаимодействующих газодинамических систем с учетом направления движения газовых потоков уравнение сохранения энергии (24) запишется в виде:

(25)

Здесь – определяющие давление и плотность газа.

Если поток вытекающий G_i< 0, в качестве определяющих принимаются параметры в рассматриваемой системе, т.е.

Если поток втекающий G_i> 0, в качестве определяющих принимаются параметры в соседней системе, т.е.

Скорость изменения объема ГДС зависит от конструктивной схемы:

· для жестких резервуаров ;

· для цилиндрических объемов с подвижным дном величина определяется поперечной площадью цилиндра S и скоростью подвижного дна V;

· для упругих резервуаров изменение объема зависит от изменения давления через коэффициент податливости k_L в а) линейной или б) нелинейной формах.

а) б)

Математические модели гидромеханических систем (ММ ГМС)

В гидромеханических системах происходят процессы вытеснения и движения потоков несжимаемой и вязкой среды, обладающей достаточно высокой плотностью. Процессы в ГМС связаны с воздействием на них внешних гидравлических потоков, подводящих или отводящих жидкость из системы.

При формировании ММ ГМС в качестве основы используем рассмотренные выше модели для газодинамических систем с условиями постоянства плотности среды, наличия микропотоков количества движения, связанных с вязкостью, а также внутренним изменением количества движения от гравитационных сил.

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

В качестве субстанций принимаются все возможные виды:

· вещество (плотность жидкости) r ;

· количество движения:

· энергия:

Макропотоки субстанций:

· вещества:

· количества движения:

· энергии:

Вязкость жидкости учитывается в уравнениях сохранения количества движения в качестве микропотоков, а именно:

где n – коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Уравнение сохранения вещества:

Для (26)

Уравнение сохранения количества движения вдоль оси x:

(27)

Используя выражение (27), запишем уравнения сохранения количества движения по двум остальным осям:

(28)

(29)

Закон сохранения количества движения для ГМС можно выразить также через полные производные субстанции по времени. Покажем это преобразование на примере выражения (27).

Полная производная имеет вид:

Тогда выражение (27) можно записать как

Учитывая выражение (26), получим

(30)

Аналогично (31)

(32)

Покажем, что закон сохранения энергии для гидромеханических систем вырождается и может быть использован при моделировании только лишь в части сохранения тепловой энергии.

Учитывая выражение (26), получим

Отсюда следует, что изменение по времени энергии в гидромеханической системе за счет действия макропотоков отсутствует, т.е. запас энергии в системе постоянен (при отсутствии теплообмена).

Начальные и граничные условия:

НУ:

ГУ: для

или

Распределенные одномерные модели (динамические и статические)

Одномерная модель характеризует процессы течения жидкости в гидропроводе. Для гидропровода с постоянной площадью поперечного сечения:

Для (33)

или (34)

НУ:

ГУ: для ;

Для гидропривода с переменной площадью поперечного сечения уравнение сохранения вещества (неразрывности потока) можно видоизменить, если в качестве субстанции рассматривать массу жидкости, отнесенную к единице длины гидропровода, т.е.

. (35)