Уравнения Навье-Стокса

Очень часто при математическом моделировании природных явлений или технических задач гидро- и газодинамики используют уравнения Навье-Стокса, названные в честь французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса. Что же они собой представляют? Это уравнение движения и уравнение неразрывности. В зависимости от физической модели явления они могут иметь несколько различный вид.

Так для нестационарного течения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости часто записывают в виде:

(40)

где – оператор набла (величина векторная).

Если умножить Ñ на скаляр j, то получится вектор . Если умножить Ñ скалярно на вектор , то получится скаляр Если умножить Ñ векторно на вектор , то получится вектор

Если умножить скалярно оператор набла сам на себя, то

– оператор Лапласа (скаляр). Оператор набла – необычный вектор, он действует на поля, стоящие от него справа и не действует на поля, стоящие от него слева, поэтому:

Поэтому

– векторное поле массовых сил.

Если мы внимательно рассмотрим уравнения Навье-Стокса, то обнаружим, что это уравнения (26) – (29). В указанных уравнениях f представлено проекциями ускорения свободного падения на координатные оси. В общем случае это может быть и другая массовая сила, например, инерции для жидкости в баке ракеты, летящей с ускорением.

Для нестационарного течения сжимаемой жидкости уравнения Навье-Стокса принимают более сложный вид:

(41)

Уравнения Навье-Стокса содержат шесть неизвестных: , а уравнений 4, с учетом записи уравнения движения в проекциях по осям, поэтому систему уравнений дополняют уравнением состояния и зависимостью вязкости от температуры. Так как появилась еще одна неизвестная Т, необходимо добавить еще одно уравнение – уравнение баланса энергии.

Общее решение уравнений Навье-Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор не найдено. В нахождении общего решения большая роль в настоящее время отводится приближенным численным методам, в частности, таким, как метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод контрольных объемов. Не имея пока общего решения, можно получить ряд практически важных частных решений, вводя различные упрощения.

При превышении числа Рейнольдса выше некоторого критического значения аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока имеет хаотический вид (так называемая турбулентность). Для уравнений Навье-Стокса характерна исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

В настоящий момент создано большое количество разнообразных моделей для расчёта турбулентных течений. Они отличаются друг от друга сложностью решения и точностью описания течения. Основная идея моделей сводится к предположению о существовании средней скорости потока и среднего отклонения от него: После упрощения уравнений Навье–Стокса, в них помимо неизвестных средних скоростей появляются произведения средних отклонений . Различные модели моделируют их по-разному. Перечисленные ниже модели применяются в различных инженерных расчётах в зависимости от необходимой точности. Практически все они реализованы в современных программах расчёта гидродинамических течений.

Основные из этих моделей в порядке возрастания сложности:

· модель Буссинеска: уравнения Навье-Стокса преобразуются к виду, в котором добавлено влияние турбулентной вязкости.

· Модель Спаларта-Альмараса: в данной модели решается одно дополнительное уравнение переноса коэффициента турбулентной вязкости.

· модель:уравнения движения преобразуется к виду, в котором добавлено влияние флуктуации средней скорости (в виде турбулентной кинетической энергии) и процесса уменьшения этой флуктуации за счёт вязкости (диссипации); в данной модели решается 2 дополнительных уравнения для транспорта кинетической энергии турбулентности и транспорта диссипации турбулентности; это наиболее часто используемая модель при решении реальных инженерных задач.

· модель:похожа на предыдущую, вместо уравнения диссипации решается уравнение для скорости диссипации турбулентной энергии.

· Модель напряжений Рейнольдса: в рамках осреднённых по Рейнольдсу уравнений решается 7 дополнительных уравнений для транспорта напряжений Рейнольдса.

· Метод крупных вихрей: занимает промежуточное положение между моделями, использующими осреднённые уравнения Рейнольдса и DNS; решается для больших образований в жидкости; влияние вихрей меньше, чем размеры ячейки расчётной сетки, заменяется эмпирическими моделями.

· Прямое численное моделирование (английская аббревиатура DNS): дополнительных уравнений нет; решаются нестационарные уравнения Навье-Стокса с очень мелким шагом по времени, на мелкой пространственной сетке. По сути не является моделью. Из-за громадного объёма информации, полученной при численном моделировании, ценность представляют средние значения потока, полученные при решении задачи с которыми могут сравниваться другие модели.

Все модели имеют преимущества и недостатки. Области применения, для которых получены модельные постоянные на основе сравнения результатов расчёта с экспериментами, ограничены. Например, модель плохо подходит для областей с вихрем.

Математические модели механических систем (ММ МС)

В механических системах в зависимости от характера их функционирования происходят процессы деформации твердой упруго-пластической среды с распределенными переменными или движение сосредоточенной области с расчетными скоростями и перемещениями под действием внешних сил или моментов.

Основной субстанцией является импульс сил деформации для механических упругих систем (МУС) и количество движения для систем поступательного, вращательного или плоскопараллельного движения (МСПД, МСВД, МСППД).

или .

Микропоток импульса сил деформации в направлении каждой из координатных осей соответствует тензорному вектору нормальных и касательных напряжений. Так для направления оси x:

, (42)

где s_xx – нормальные напряжения вдоль оси x по поверхности, перпендикулярной оси x;

s_xy, s_xz – касательные напряжения вдоль оси x по поверхностям, перпендикулярным осям y и z соответственно.

Тензор напряжений состоит из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, записанные в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения, а в остальных позициях – касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

Иногда для удобства касательные напряжения обозначают тоже буквой «s».

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

или

(43)

Составляющие вектора тензора напряжений для объемно-деформированного состояния упругой среды определяются соотношениями теории упругости:

где – абсолютные деформации в направлениях осей координат;

– параметры Ламе;

E, m – модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона.

Подставив выражения для нормальных и касательных напряжений через деформации и выполнив достаточно простые преобразования, получим уравнение сохранения импульса сил деформации или основное уравнение упругости Ламе:

(44)