Элементарные аналитические функции

Среди аналитических функций наиболее простыми являются целые функции.

Функция W = f(Z) называется целой, если она является аналитической в конечной комплексной плоскости.

Многочленом степени n называется функция вида ( ). Это есть целая функция, так как она всюду имеет производные.

Очевидно, при .

Мы будем рассматривать случай, когда ( – комплексные числа, – комплексные переменные).

Очевидно, . Поэтому можно считать, что . Как известно из алгебры, при любом W уравнение имеет n корней в комплексной плоскости, при чем некоторые из них могут быть кратные. Следовательно, Любая точка W комплексной плоскости (W) принадлежит образу плоскости (Z) при отображении ( ).

Так как , рассмотренная комплексная плоскость (Z) отображается на расширенную комплексную плоскость (W). При этом каждой точке , за исключением некоторого конечного числа точек, имеет в плоскости (Z) ровно n прообразов . Найдем те исключительные W плоскости (W), которые имеют в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов. Очевидно, к этим точкам относятся точки , у нее в плоскости (Z) один прообраз . Мы будем считать, что эта точка является и кратной точкой. Будем считать, что , так как точка W при отображении имеет в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов, то, по крайней мере, один из них является кратным. Обозначим его через Z₀. Как известно, кратный корень уравнения является так же корнем уравнения . Производная имеет уже степень n-1, поэтому уравнение будет иметь не более чем n-1 различных корней. Обозначим их через , тогда точки ,…, и будут иметь в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов.