Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем

Розглянемо рішення задачі про стаціонарних автоколивання квазілінійних систем, диференціальне рівняння руху яких має вигляд:

. (6.3)

Рисунок 6.3 – Фазовий портрет автоколивань з нестійким граничним циклом

Нехай функція складається з малих нелінійних членів. Тоді можна прийняти, що частота автоколивань дорівнює власній частоті системи і шукати рішення у вигляді

,

де - постійні величини.

У відповідності з ідеєю методу енергетичного балансу (3.2) вимагатимемо, щоб робота «неврівноваженою сили», (тут – інерційний коефіцієнт рівняння) за період дорівнювала нулю. Умова енергетичного балансу дає вираз для визначення стаціонарної амплітуди автоколивань:

, (6.4)

де введемо .

Розглянемо приклад автоколивальної системи зі звичайною силою в'язкого тертя і силою негативного кулонівського тертя

(рис. 6.4), яка і є причиною самозбудження коливань.

Диференціальне рівняння руху має вигляд

Функція

або

Рисунок 6.4 – Характеристика сили тертя

Умова (6.4) тепер дає:

,

звідки .

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 6

1. Поясніть принципову відмінність автоколивальних систем від розглянутих раніше.

2. Що означає стійкий і нестійкий граничні цикли?

3. Чи можливе існування декількох бокових циклів? Від чого це залежить?

4. Як впливають початкові збурення на коливання в автогенераторі Ван-дер-Поля?