ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
8.1. Электромагнитная волна частотой 1 ГГц распространяется в среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2,4, тангенсом угла диэлектрических потерь tg δ = 0.4 и относительной магнитной проницаемостью μ = 1. Рассчитать фазовую скорость, длину и коэффициент затухания волны, а также волновое сопротивление и затухание волны на пути в 1 м.
Решение. Формула для фазовой скорости имеет номер (5.15):
(5.15) |
Для того чтобы воспользоваться этой формулой, надо вычислить модуль комплексной относительной диэлектрической проницаемости и угол потерь. Модуль комплексной относительной диэлектрической проницаемости рассчитывается по формуле (5.7):
(5.7) |
Угол потерь: δ = arctg (0.4) = 21.8˚.
Получим следующую величину фазовой скорости:
Длина волны:
Волновое сопротивление вычисляется по формуле (5.16):
(5.16) |
Коэффициент затухания вычисляется по формуле (5.10):
(5.10) |
Затухание волны вычисляется по формулам (5.12) - (5.14):
(5.12) | |
Нп. | (5.13) |
(5.14) |
Ответ. vф = 1.9*108 м/с, λ = 0.19 м, Z = 234.5exp(j10.9˚), α = 6.368 1/м, L = 582.9 = 6.368 Нп = 55.31 дБ.
8.2. Плоская электромагнитная волна частотой 1 ГГц распространяется в среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2,4, электропроводностью σ = 0.014 См/м и относительной магнитной проницаемостью μ = 1. Рассчитать фазовую скорость, длину и коэффициент затухания волны, а также волновое сопротивление и затухание волны на пути в 5 м.
Решение. По формуле (5.1) рассчитывается tg δ:
(5.1) |
По формуле (5.7) рассчитывается модуль комплексной относительной диэлектрической проницаемости:
(5.7) |
Угол потерь: δ = arctg 0.105 = 5.994˚.
Фазовая скорость вычисляется по формуле (5.15):
(5.15) |
Длина волны – это путь, который она проходит за период:
Волновое сопротивление вычисляется по формуле (5.16):
(5.16) |
Коэффициент затухания рассчитывается по формуле (5.10):
(5.10) |
Затухание волны вычисляется по формулам (5.12) - (5.14):
(5.12) | |
Нп. | (5.13) |
(5.14) |
Ответ. vф = 1.934*108 м/с, λ = 0.1934 м, Z = 242.7exp(j2.997˚), α = 1.701 1/м, L = 4939 = 8.505 Нп = 73.87 дБ.
8.3. Плоская электромагнитная волна частотой 10 МГц распространяется в металле с параметрами σ = 5*107 См/м, μ = 1. Вычислить фазовую скорость, коэффициент затухания и глубину проникновения поля.
Решение. Фазовая скорость вычисляется по формуле (5.27)
(5.27) |
Коэффициент затухания рассчитывается по формуле (5.26):
(5.26) |
Глубина проникновения вычисляется по формуле (5.28):
(5.28) |
Ответ:vфм = 1.414*103 м/с, αм = 4.443*104 1/м, d = 2.251*10-5 м.
8.4. Плоская электромагнитная волна частотой 30 МГц распространяется в средах, электродинамические характеристики которых приведены в таблице 8.1.
Таблица 8.1 | ||||||
№ среды | ||||||
ε | ||||||
σ,См/м | 0.001 | 0.01 | 0.001 | 0.01 |
Рассчитать расстояние, на котором фаза волны изменится на угол φ1 = 270° и на угол φ2 = 2520°.
Решение.За изменение фазы волны отвечает коэффициент фазы. Его величина равна изменению фазы в радианах при прохождении 1 метра пути. Значит, расстояние, при прохождении которого фаза волны изменяется на некоторый угол, может быть определено делением этого угла на коэффициент фазы:
(8.1) |
где l- расстояние, м; φ - сдвиг фазы на расстоянии l, рад; β- коэффициент фазы, рад.
В общем случае коэффициент фазы определяется по формуле (5.9):
(5.9) |
Эта формула дает результат в радианах. Значит, сдвиг фазы надо перевести из градусов в радианы по формуле:
(8.2) |
Получим: φ1 = 4.712 рад, φ2 = 43.98 рад.
В вакууме, при ε = 1 и σ = 0 См/м получим:
В диэлектрике с ε = 4 и σ = 0 См/м получим:
В диэлектрике с потерями с ε = 1 и σ = 0.001 См/м.
Для расчета коэффициента фазы в этой среде надо предварительно по формуле (5.1) найти tg δ:
(5.1) |
Угол потерь δ = 30.96˚.
Модуль комплексной относительной диэлектрической проницаемости необходимо вычислить по формуле (5.7):
(5.7) |
Коэффициент фазы:
Расстояния l1 и l2:
В диэлектрике с потерями с ε = 1 и σ = 0.01 См/м.
Угол потерь δ = 80.54˚.
Коэффициент фазы:
Расстояния l1 и l2:
В диэлектрике с потерями с ε = 4 и σ = 0.001 См/м.
Угол потерь δ = 8.531˚.
Коэффициент фазы:
Расстояния l1 и l2:
В диэлектрике с потерями с ε = 4 и σ = 0.01 См/м.
Угол потерь δ = 56.31˚.
Коэффициент фазы:
Расстояния l1 и l2:
Ответ:
Таблица 8.2 | ||||||
№ среды | ||||||
l1, м | 7.5 | 3.75 | 7.206 | 3.986 | 7.479 | 5.878 |
l2, м | 67.26 | 37.22 | 69.81 | 54.86 |
8.5. Плоская электромагнитная волна частотой 10 ГГц распространяется вдоль оси z. В плоскости z = 0 амплитуда вектора напряженности электрического поля описывается соотношением Е = (х00.5 + у00.2) В/м. Рассчитать амплитуду вектора напряженности магнитного поля Н в плоскости z = 0, а также мгновенные значения векторов Е и Н и плотность потока энергии в плоскости z = 10 см в вакууме (среда 1), немагнитном диэлектрик с ε = 4 (среда 2) и немагнитном диэлектрике с потерями с ε = 4 и σ = 0.01 См/м (среда 3).
Решение. В общем случае комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного полей связаны между собой волновым сопротивлением. Для выполнения расчетов нами были получены формулы (4.10) и (4.11), относящиеся к волне, распространяющейся вдоль оси z:
(4.10) | (4.11) |
Для расчета волнового сопротивления среды надо воспользоваться формулой (5.16):
(5.16) |
Волновое сопротивление вакуума Z0 = 120π Ом мы определили в формуле (5.7). Следовательно, проекции вектора напряженности магнитного поля на оси координат в вакууме будут равны:
Н = (-х05.306 + у013.26) *10-4 А/м.
Для немагнитного диэлектрика с ε = 4 получим:
Н = (-х01.061 + у02.653) *10-3 А/м.
Для расчета волнового сопротивления немагнитного диэлектрика с потерями при ε = 4 и σ = 0.01 См/м надо по формуле (5.7) найти модуль относительной диэлектрической проницаемости:
(5.7) |
Для того чтобы воспользоваться этой формулой, надо по формуле (5.1) найти tg δ. Получим:
(5.1) |
Угол потерь δ = 2.577˚.
Модуль комплексной относительной диэлектрической проницаемости:
Волновое сопротивление:
Модули составляющих вектора напряженности магнитного поля:
В отличие от сред 1 и 2 волновое сопротивление диэлектрика с потерями является комплексным, то есть имеет не только модуль, но аргумент 1.289°. Это необходимо учесть при записи выражения для вектора Н. Но предварительно надо аргумент волнового сопротивления перевести в радианы по формуле (8.2):
(8.2) |
Аргумент волнового сопротивления имеет знак +, значит, аргумент вектора напряженности магнитного поля будет отрицательным:
Таким образом, амплитуды векторов напряженности электрического Е и магнитного Н полей в плоскости z = 0 определены. Для описания мгновенных значений этих векторов надо учесть зависимость поля от расстояния и времени. В общем случае для этого надо амплитуды умножить на экспоненты с соответствующими показателями степени, а затем взять действительную часть результата. Эту процедуру мы проделаем для среды 3, в которой есть потери.
Для сред без потерь можно поступить проще. Вначале по формуле (5.9) рассчитаем коэффициенты фазы:
(5.9) |
Получим:
Среда 1 | Среда 2 |
Общий вид выражения для мгновенного значения приведен, например, в формуле (4.3):
(4.3) |
Сюда надо подставить круговую частоту и произведение βz.Получим:
Среда 1 | (8.3) | |
(8.4) | ||
Среда 2 | (8.5) | |
(8.6) |
Для среды с потерями разумней пойти стандартным путем. Общий вид исходного выражения описан, например, формулой (4.1):
(4.1) |
Получим
(8.7) | ||
Среда 3 | (8.8) |
В общем случае комплексное волновое число рассчитывается по формуле (3.4)
(3.4) |
где β вычисляется по формуле (5.9), а α – по формуле (5.10)
(5.10) |
Получим:
Среда 3 |
В среде с потерями необходимо учесть уменьшение амплитуды напряженности поля за счет потерь. Для этого надо воспользоваться следующей формулой:
(8.9) |
где А0- амплитуда напряженности поля при z = 0; А - амплитуда напряженности поля при z = z1.
Получим:
(8.10) |
На эту величину надо умножить амплитуды составляющих поля. Получим:
Среда 3 | (8.11) | |
(8.12) |
Для определения плотности потока энергии в плоскости z = 0.1 м необходимо вычислить вектор Пойнтинга – векторное произведение векторов Е и Н. В этой задаче вектор Пойнтинга можно найти несколькими способами. Во-первых, можно из проекций на оси координат сформировать амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного полей и перемножить их векторно в соответствии с формулой (7.1):
(7.1) |
где | П | - вектор Пойнтинга, Вт/м2; |
Е | - амплитуда вектора напряженности электрического поля, В/м; | |
Н | - амплитуда вектора напряженности магнитного поля, А/м. |
При вычислении вектора П в среде с потерями надо произведение амплитуд умножить на косинус сдвига фаз между векторами напряженности электрического и магнитного полей.
Возможен и другой путь, вероятно, более простой. Волна распространяется вдоль оси z, значит, ориентация вектора Пойнтинга определена заранее. Осталось определить его модуль
Для этого надо перемножить проекции векторов напряженности электрического и магнитного полей на разноименные оси: Ех умножить на Ну, а Еу – на Нх, а результаты сложить. Для сред без потерь эту процедуру в общем виде можно описать следующим соотношением:
(8.13) |
Получим:
Среда 1 | (8.14) | |
Среда 2 | (8.15) |
Для среды с потерями надо, кроме того, произведение амплитуд проекций умножить на косинус сдвига фаз между векторами напряженности поля. Получим:
Среда 3 | (8.16) |
Ответ:
Среда 1 | |
Среда 2 | |
Среда 3 | |
8.6. Определить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся в направлении оси z, в металле с параметрами σ = 6*107 См/м, μ = 1 на частотах 10 кГц и 1 МГц, если в заданной точке пространства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля Н = y0 25 А/м.
Решение.Для того чтобы рассчитать комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля, надо по формуле (5.28) найти волновое сопротивление металла:
(5.28) |
Далее надо воспользоваться следующей формулой:
(8.17) |
Получим на частоте 1 МГц:
На частоте 10 кГц:
8.7. Вывести формулу для определения уменьшения амплитуды поля плоской электромагнитной волны на пути, равном длине волны в среде с потерями. Во сколько раз уменьшится амплитуда поля на указанном расстоянии в среде с параметрами ε = 2, μ = 1, σ = 10-4 См/м на частоте 10 МГц?
Решение. Затухание плоской волны при распространении в среде с потерями описывается формулой (5.12):
(5.12) |
Вместо z сюда надо подставить λ.
Для коэффициента затухания в среде с потерями есть формула (5.10):
(5.10) |
Длину волны через параметры среды можно выразить с помощью формулы (1.6):
(1.6) | Отсюда | (8.18) |
Осталось (5.9) найти β:
(5.9) |
Теперь надо подставить α, β и λ в формулу (5.12). Получим:
(8.19) |
Формула готова. Осталось по формуле (5.1) найти угол потерь tg δ. Получим:
(5.1) |
L = 1.76 раза.
Ответ: 1.76 раза.
8.8. Определить толщину медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в 104 раза на частотах 50 Гц и 50 МГц.
Решение. Вначале надо по формуле (5.10) найти коэффициент затухания:
(5.10) |
Уменьшение напряженности поля при распространении в среде с потерями описывается формулой (5.12).
(5.12) |
Но нам надо найти толщину экрана z по заданному затуханию. Следовательно, надо взять натуральный логарифм от L = 104 и разделить результат на коэффициент затухания. Получим:
Для 50 Гц z = 86.83 мм. Для 50 МГц z = 86.83 мкм.
Ответ. 86.83 мм при f = 50 Гц, 86.83 мкм при f = 50 МГц.
Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 22263;