Теорема про складання швидкостей

Згідно з рис. 107 в кожному положенні точки має місце векторна рівність

(г)

Оскільки –координати точок в рухомій системи координат, а – її орти, то

(д)

Підставляючи (д) в (г), отримаємо

Отриману векторну рівність продиференціюємо за часом. Враховуючи, що є змінними векторами, отримаємо

(e)

Вираз , враховуючи (д), є не що інше, як похідна за часом від радіуса-вектора за умови, що , тобто

.

Аналогічно вираз є похідною від за часом при умові, що

Враховуючи сказане, маємо

. (є)

Оскільки

1) – це абсолютна швидкість точки (див. формулу (а));

2)

3) , адже координати точки є одночасно і координатами точки (див. рис. 107), а для точки вони є постійними;

4) – відносна швидкість точки (див. формулу (б)), то рівність (є) набуває вигляду

За формулою (2.31)

Швидкість точки для точки, що здійснює складний рух, є переносною швидкістю (див. формулу (в)). Остаточно маємо

. (2.58)

Формула (2.58) виражає теорему про складання швидкостей, яка читається так:

абсолютна швидкість точки, яка здійснює складний рух, дорівнює геометричній сумі її переносної і відносної швидкостей.

§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень
(Теорема Коріоліса)

З попереднього (див. векторну рівність (е)) маємо

Якщо цю рівність ще раз продиференціювати за часом, то отримаємо

(ж)

З’ясуємо зміст кожного доданка отриманої рівності.

1. Оскільки друга похідна за часом від радіуса-вектора є пришвидшення відповідної точки, то – абсолютне пришвидшення точки , яка здійснює складний рух (див.
формулу (а)).

– пришвидшення точки .

2. Вираз є не що інше, як друга похідна від за часом за умови, що тобто:

адже до того ж справедливе тільки для точки .

3. Аналогічно вираз є другою похідною від за часом за умови, що , тобто:

4. Вираз позначається і називається додатковим (коріолісовим або поворотним при-швидшенням). Коріолісовим пришвидшення назване в честь французького механіка Гюстава Гаспара Коріоліса (1792-1843), котрим в 1833 р. була виведена теорема, що буде сформульована нижче. Однак треба відзначити, що вперше ця теорема була сформульована Л. Ейлером у 1765 р., потім К.Гаусом у 1803 р. Зміст інших назв вектора виясниться пізніше.

Враховуючи сказане, векторна рівність (ж) набуває вигляду

.

За формулою (2.32) маємо, що

.

Оскільки пришвидшення точки В для точки К є переносним ( , див. формулу (в)), то

.

Згідно з формулою (б)

.

Враховуючи це, остаточно матимемо

. (2.59)

Отримана формула виражає теорему Коріоліса, яка читається так:

абсолютне пришвидшення точки, яка здійснює складний рух, дорівнює геометричній сумі її переносного, відносного і коріолісового пришвидшень.

Якщо отриману формулу (2.59) порівняти з формулою (2.58), яка визначає абсолютну швидкість точки, що здійснює складний рух, то видно, що у формулі (2.59) з’явився додатковий член . Ось чому часто називають вектором додаткового пришвидшення.

§ 44.4 Коріолісове пришвидшення і його визначення

В попередньому параграфі для пришвидшення Коріоліса отримано вираз

. (з)

Для надання фізичного змісту отриманому виразу виконаємо деякі перетворення. З’ясуємо, чому дорівнюють похідні , , . Оскільки орти , , можуть змінюватися лише за напрямом, то їх зміна відбувається при обертанні системи координат , а також і носія навколо точки О. Як буде показано в § 47, носій відносно точки О може здійснювати сферичний рух. Це означає, що в кожний момент часу носій (рухома система координат відносно умовно нерухомої точки О, буде здійснювати обертальний рух навколо миттєвої осі обертання. Тому згідно з формулою (2.55)

; ; , (i)

де – кутова швидкість рухомої системи координат. Рух рухомої системи координат був названий переносним рухом. Кінематичні характеристики його позначаються індексом “е”, тому в подальшому будемо позначати і називати вектором кутової швидкості переносного обертання.

Підставляючи (і) в (з) і враховуючи позначення вектора кутової швидкості , отримаємо

.

Оскільки (див. формули (б)), остаточно отримаємо

. (2.60)

Вектор пришвидшення Коріоліса геометрично
дорівнює подвійному векторному добутку вектора переносної кутової швидкості на вектор відносної лінійної швидкості.

Отримана формула (2.60) дає змогу визначити як величину, так і напрям вектора пришвидшення Коріоліса. Виходячи з властивості векторного добутку, маємо формулу

, (2.61)

яка визначає модуль коріолісового пришвидшення.

Модуль пришвидшення Коріоліса дорівнює подвійному добутку модуля кутової швидкості переносного руху ( ) на модуль відносної лінійної швидкості ( ) і на синус кута між цими векторами.

З формули (2.61) випливає, що коріолісове пришвидшен-ня дорівнює нулеві в таких випадках:

1) коли , тобто у випадку поступального переносного руху або в момент, коли кутова швидкість непоступального руху дорівнює нулеві;

2) коли , тобто у момент часу відносного спокою точки;

3) коли , тобто у випадку, коли , а це означає, що вектор відносної швидкості точки паралельний до осі переносного обертання.

В кожному з цих випадків формула (2.59) набуває вигляду

. (2.62)

Оскільки другий і третій випадок отримуємо найчастіше тільки в деякий момент часу, то формулу (2.62) застосовують при визначенні пришвидшення точки, яка здійснює складний рух у випадку переносного поступального руху.

Отже,

абсолютне пришвидшення точки, яка здійснює складний рух, у випадку переносного поступального руху дорівнює геометричній сумі її переносного і відносного пришвидшень.

Напрям вектора пришвидшення Коріоліса можна визначити двома способами:

1. За правилом векторного добутку. Вектор коріолісового пришвидшення напрямлений перпендикулярно до площини, яка проходить через вектори і в бік, звідки поворот вектора до вектора на найменший кут, щоб їх сумістити, видно проти ходу годинникової стрілки (рис.108).

2. За правилом Жуковського. Для визначення напряму вектора коріолісового пришвидшення необхідно вектор відносної швидкості спроектувати на площину, яка перпендикулярна до осі переносного обертання, і отриману проекцію в заданій площині повернути на кут 90° в бік переносного обертання. Це продемонстровано на рис. 109, де зображено:

– вісь переносного обертання; по цій осі відкладено вектор ;

Н – площина, яка перпендикулярна до осі ;

– вектор відносної швидкості точки;

– проекція вектора відносної швидкості на площину, яка перпендикулярна до осі переносного обертання;

– вектор пришвидшення Коріоліса.

Правило Жуковського для визначення напряму вектора ефективно використовувати при плоскому складному русі, тобто тоді, коли складний рух точки відбувається в одній площині.

Виникнення пришвидшення Коріоліса, як показує аналіз складного руху точки, особливо у випадках, коли , пояснюється двома причинами.

1. Відносний рух точки змінює величину вектора переносної швидкості.

2. Переносний рух точки змінює напрям вектора відносної швидкості.

Кожна з цих причин в абсолютне пришвидшення точки, яка здійснює складний рух, вносить свій додаток , а пришвидшення Коріоліса дорівнює подвійному векторному добутку на , тобто .

Питання для самоконтролю

1. Який рух точки називається складним?

2. Який рух точки називається абсолютним?

3. Чи можна вважати складним рух штучного супутника навколо Землі? Обгрунтувати.

4. Наведіть два приклади складного руху точки.

5. Точка здійснює складний рух. Який рух точки називається переносним?

6. Який рух точки називається відносним?

7. Сформулюйте теорему про складання швидкостей точки в складному русі.

8. Запишіть формулу, яка визначає абсолютну швидкість точки, котра здійснює складний рух.

9. По вагону, що рухається з швидкістю м/с, йде людина з швидкістю м/с. Який рух людини буде відносним? Яка швидкість відносного руху людини?

10. В деякий моменти часу точка має переносну швидкість 4 м/с, відносну швидкість 3 м/с. Визначити абсолютну швидкість точки, якщо кут між напрямами відносної і переносної швидкостей дорівнює 0°, 90°, 180°.

11. Сформулюйте теорему про складання пришвидшень точки в складному русі у випадку переносного поступального руху.

12. Запишіть формулу, за допомогою якої визначається величина пришвидшення Коріоліса.

13. Запишіть формулу, яка визначає вектор пришвидшення Коріоліса.

14. Сформулюйте теорему, за допомогою якої визначається пришвидшення точки в складному русі.

15. Запишіть формулу, за допомогою якої визначається пришвидшення токи в складному русі.

16. В яких випадках пришвидшення Коріоліса дорівнює нулю?

17. Як визначається напрям пришвидшення Коріоліса?

18. Точка здійснює складний рух. Вектор її відносної швидкості напрямлений вздовж осі абсцис. Вектор кутової швидкості переносного обертання напрямлений вздовж осі ординат. Знайти напрям вектора пришвидшення Коріоліса.

19. Чому дорівнює абсолютне пришвидшення точки, коли кут між і дорівнює 180°?

2.4 Кінематика складного руху твердого тіла

§ 45 Складний рух твердого тіла

Складним рухом твердого тіла називається такий рух, при якому тіло одночасно здійснює два або декілька рухів.

Наприклад, автомобільне колесо здійснює складний рух: рухається поступально разом з автомобілем і одночасно обертається навколо своєї осі. Земля здійснює складний рух. Як відомо з астрономії, вона одночасно обертається навколо трьох осей, до того ж рухається по еліптичній орбіті навколо Сонця і т.д.

Фактично в природі всі тіла здійснюють складний рух.

Вивчення складного руху твердого тіла залежно від задач, які ставляться, можна проводити двома методами: методом аналізу або методом синтезу. Метод аналізу полягає в розкладанні заданого руху твердого тіла на прості (поступальний і обертальний) рухи. В методі синтезу складний рух твердого тіла отримується шляхом складання простих рухів. Як в першому, так і в другому методах всі кінематичні характеристики руху тіла визначаються через кінематичні характеристики складових рухів, що і є основним завданням кінематики складного руху тіла.

§ 46 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла

§ 46.1 Основні поняття і визначення

Плоскопаралельним (плоским) рухом твердого тіла
називається такий його рух, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, паралельних деякій нерухомій площині.

Частковим випадком плоскопаралельного руху є обертання твердого тіла навколо нерухомої осі, адже в даному русі, як відомо з попереднього, всі точки тіла рухаються в площинах, які перпендикулярні до осі обертання, тобто в паралельних площинах.

Більш загальним прикладом плоскопаралельного руху є рух призми (на рис. 110 зображено частковий випадок призми – паралелепіпед), основа якої довільно переміщається по нерухомій площині Н. При такому русі всі її точки переміщаються в площинах, паралельних площині Н. Плоскопаралельний рух широко розповсюджений в техніці. Переважна більшість механізмів, які зустрічаються на практиці, є сукупністю твердих тіл, що з’єднані між собою, і рухаються паралельно деякій площині, тобто здійснюють плоскопаралельний рух. Таким є, наприклад, рух окремих ланок кривошипно-шатун-ного механізму (рис. 111). Всі точки кожної з його ланок рухаються паралельно нерухомій площині (площині рисунка). Але плоский рух кривошипа ОА є обертальним, бо він має закріплену точку О . Плоский рух повзуна В є поступальним, тому що будь-яка пряма цього повзуна переміщається паралельно своєму початковому положенню. Рух шатуна АВ є найбільш загальним прикладом плоскопаралельного руху, бо його рух не є ні обертальним (оскільки шатун не має нерухомої точки), ні поступальним (оскільки пряма АВ не залишається при русі шатуна паралельною своєму початковому положенню).

Рис. 110

Рис. 111

А тепер детально проаналізуємо загальний випадок плоскопаралельного руху твердого тіла. Нехай точки тіла М рухаються паралельно деякій нерухомій площині Н (рис.112). Перетнемо тіло деякою площиною , що паралельна площині Н (Н₁ | | Н). В перетині отримаємо плоску фігуру S. Ця плоска фігура при русі тіла буде переміщатися в площині , тобто . Проведемо відрізок прямої АА перпендикулярно до плоскої фігури S. На цьому відрізку візьмемо дві точки – точку перетину відрізка АА з плоскою фігурою S і – довільну точку цього відрізка. При вказаному русі тіла відрізок АА буде здійснювати поступальний рух, тому що відстані точок цього відрізка до нерухомої площини Н не міняються, а це означає що відрізок АА залишається при русі перпендикулярним до площини Н, тобто паралельний сам собі. А це означає, що траєкторія точки буде тотожна траєкторії точки ( ). Швидкості і пришвидшення цих точок геометрично рівні ( , ).

Тепер проведемо відрізок прямої ВВ перпендикулярно до плоскої фігури S. На цьому відрізку візьмемо дві точки: – точку перетину відрізка ВВ з плоскою фігурою S і – довільну точку цього відрізка. Аналогічно міркуючи, отримаємо, що траєкторія точки тотожна траєкторії точки . Швидкість і пришвидшення точки геометрично рівні швидкості і пришвидшенню точки ( ).

Рис. 112

Через кожну точку плоскої фігури можна провести відповідні відрізки і отримати аналогічні висновки, тобто кінематичні характеристики руху точок кожного відрізка будуть співпадати (одинаковими) з кінематичними характеристиками руху точки перетину відповідного відрізка з плоскою фігурою.

Отже,

плоскопаралельний рух твердого тіла цілком визначається рухом його плоскої фігури.

Таким чином, вивчення плоскопаралельного руху твердого тіла зводиться до вивчення руху його плоскої фігури, яка утворюється шляхом перетину тіла площиною, що паралельна до площини, паралельно якій рухається тіло.

§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури

Розглянемо плоску фігуру, що переміщається в площині нерухомої системи координат (рис. 113). Положення плоскої фігури в цій площині однозначно визначається положенням двох її точок, наприклад, О і А. Оскільки відстань між точками О і А залишається незмінною, то з чотирьох координат ( ), що визначають положення цих точок, незалежними є тільки три. Отже, для визначення положення плоскої фігури потрібні тільки три незалежних параметри. Такими параметрами можуть бути: – координати точки О; – кут повороту відрізка, що з’єднує точки О і А відносно осі абсцис. При русі плоскої фігури ці параметри змінюються і є функціями часу , тобто

(2.63)

Рівняння (2.63), за допомогою яких можна визначити положення плоскої фігури в будь-який момент часу, є рівняннями її руху. А оскільки рух плоскої фігури визначає плоскопаралельний рух твердого тіла, то рівняння (2.63) є рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла.

Рис. 113

Розглянемо часткові випадки:

1. Припустимо, що плоска фігура здійснює рух, при якому

В даному випадку при русі плоскої фігури відрізок ОА буде паралельним своєму початковому положенню, а це означає, що плоска фігура здійснює поступальний рух.

2. У випадку, коли

плоска фігура, очевидно, буде здійснювати обертальний рух.

При русі плоскої фігури одночасно змінюються три параметри (див. рівняння 2.63). Таким чином, можна стверджувати, що:

плоскопаралельний рух твердого тіла є складним рухом; він складається з поступального і оберталь-ного рухів.

Точка, з якою плоска фігура здійснює поступальний рух, називається полюсом.

В даному випадку за полюс взято точку О. За полюс плоскої фігури можна брати будь-яку її точку. Дослідимо залежність складових рухів плоскої фігури від вибору полюса. Для цього розглянемо два положення плоскої фігури, що рухається в площині (рис. 114): – положення плоскої фігури в момент часу ; – її положення в момент часу , тобто за проміжок часу плоска фігура перемістилась з положення в положення . На рис.114 також вказано:

– положення плоскої фігури після поступального її переміщення з положення І в положення ІІ у випадку, коли за плюс вибрано точку ;

– положення плоскої фігури після поступального її переміщення з положення І в положення ІІ у випадку, коли за плюс вибрано точку ;

– кути повороту плоскої фігури навколо відповідних полюсів.

Отже, якщо за полюс плоскої фігури вибрано точку , то при переміщенні її з положення І в положення ІІ за проміжок часу вона здійснить поступальний рух по траєкторії і повернеться на кут . Коли за полюс плоскої фігури буде вибрано точку , то при переміщенні її з положення І в положення ІІ за цей же проміжок часу поступальний рух вона здійснить по траєкторії і повернеться на кут . З рис. 114 видно, що траєкторії руху і переміщення точок А і В різні, а кути повороту і однакові за величиною і знаком, отже, можна стверджувати, що

Рис. 114

поступальний рух плоскої фігури залежить від вибору полюса, а обертальний її рух не залежить від вибору полюса.

Зауваження:

1. Додатний напрям кута вибирається проти ходу годинникової стрілки.

2. Модулі кутової швидкості і пришвидшення дорівнюють

; .

3. Вектори і направляються перпендикулярно до площини руху згідно з правилом, запропонованим при обертальному русі тіла (§ 43.4). Вектори і є вільними векторами і можуть бути прикладені в будь-якій точці плоскої фігури.

§ 46.3 Рівняння руху точки плоскої фігури

Щоб отримати рівняння руху точки плоскої фігури, розглянемо плоску фігуру, котра переміщається в площині нерухомої системи координат (рис. 115). За полюс плоскої фігури вибираємо точку О і через цей полюс проведемо рухому систему координат , яка жорстко з’єднана з плоскою фігурою. Положення довільної точки К плоскої фігури в рухомій системі координат однозначно визначається координатами , які при русі точки К, що переміщується разом з плоскою фігурою, очевидно не змінюються. Як видно з рис. 115, між координатами точки К в двох системах координат і має місце залежність

;

.

Розкривши косинус і синус суми двох кутів,

,

,

Рис. 115

і враховуючи, що , , отримуємо

(2.64)

Рівняння (2.64) є рівняннями руху точки плоскої фігури. В цих рівняннях і змінюються за законами (2.63), – координати точки в системі координат, яка жорстко з’єднана з плоскою фігурою і для точки вони є постійними.

Користуючись формулами (2.8) – (2.13), і (2.64), можна аналогічно знайти швидкість і пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури, тобто:

, .

Тут

; ;

;

.

Напрямні косинуси векторів і знаходяться за формулами

; ;

; .

Векторний спосіб знаходження швидкостей і пришвидшень точок плоскої фігури розглянуті в наступних параграфах.

§ 46.4 Теорема про швидкості точок плоскої фігури
та її наслідок

Розглянемо плоску фігуру, котра рухається в площині рисунка (рис. 116). За полюс плоскої фігури виберемо точку О.

Нехай полюс рухається з швидкістю , і навколо полюса плоска фігура обертається з кутовою швидкістю . Візьмемо довільну точку К плоскої фігури, положення якої відносно полюса визначається радіусом-вектором , і визначимо її швидкість. Оскільки рух плоскої фігури є складним рухом, який складається з по-ступального руху разом з полюсом і обертального руху навколо полюса, то кожна точка плоскої фігури здійснює складний рух, і швидкість точки К можна визначити за допомогою теореми про додавання швидкостей точки, що здійснює склад-ний рух (див. формулу 2.58). Для точки К вона матиме вигляд

. (а)

Прийнявши поступальний рух плоскої фігури за переносний рух, отримаємо, що переносні швидкості всіх точок плоскої фігури будуть однаковими і дорівнюватимуть швидкості полюса

. (б)

Відносним рухом плоскої фігури є обертання її навколо полюса з кутовою швидкістю . Тому згідно з формулою Ейлера (див. формулу 2.53) для відносної швидкості матимемо

.

Відносну швидкість точки плоскої фігури позначають так: . Індекс зліва вказує полюс, а справа – позначає точку, швидкість якої визначається. Отже,

. (в)

Підставляючи (б) і (в) в (а), отримуємо

,

або

. (2.65)

Формули (2.65) виражають теорему про швидкість точки плоскої фігури, яка читається так:

швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса і обертальної швидкості даної точки навколо полюса.

Отже, щоб знайти швидкість точки плоскої фігури, необхідно мати швидкість полюса ( ) і швидкість даної точки в обертальному русі плоскої фігури навколо полюса ( ).

Вектор швидкості визначається за законами обертального руху, тобто його величина дорівнює , і він напрямлений перпендикулярно до відрізка КО в бік обертання плоскої фігури (рис. 117). Знаючи швидкість полюса і визначивши швидкість точки в обертальному русі навколо полюса , шукану швидкість знаходимо як діагональ паралелограма, побудованого на векторах і .

З доведеної теореми випливає наслідок:

проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на вісь, яка проходить через ці дві точки, рівні між собою.

Для доведення цього наслідку розглянемо дві довільні точки А і В плоскої фігури, яка рухається у площині рисунка. Вектори швидкостей цих точок і (рис. 118) утворюють з прямою АВ відповідно кути і . Приймаючи точку А за полюс, швидкість точки В згідно з (2.65) буде визначатися формулою

. (г)

Рис. 118

Проектуючи векторну рівність (г) на вісь Ах і знаючи, що , матимемо

.

Оскільки , отримаємо

,

тобто

. (2.66)

Отже, наслідок доведено. Цей наслідок часто називають теоремою про проекції швидкостей точок плоскої фігури. Необхідно пам’ятати, що ця теорема має місце тільки тоді, коли вектори швидкостей точок плоскої фігури проектуємого на вісь, яка проходить через ці точки. Треба зазначити, що формула (2.66) має місце для будь-якого руху твердого тіла, що легко довести, скориставшись залежністю (2.31).

§ 46.5 Миттєвий центр швидкостей

Точка твердого тіла під час плоского руху, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулеві, називається миттєвим центром швидкостей.

Миттєвий центр швидкостей найчастіше позначається буквою Р або . Отже, . Користуючись формулою (2.65),покажемо, що в усякий момент часу існує точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулеві.

Для цього розглянемо плоску фігуру, яка виконує деякий рух у площині рисунка (рис. 119). За полюс плоскої фігури візьмемо точку О, швидкість якої . Нехай навколо полюса плоска фігура обертається так, як вказано на рис. 119. З точки О перпендикулярно до проводимо промінь ОВ в бік, який співпадає з напрямом обертання плоскої фігури. На цьому промені на відстані
візьмемо точку Р і за формулою (2.65) визначимо її швидкість

. (а)

Обертальна швидкість точкиР навколо полюса О за величиною дорівнює

,

а напрям вектора цієї швидкості, який перпендикулярний до ОР і напрямлений в бік обертання, як видно з рисунка 119, протилежний напряму вектора швидкості . Враховуючи це, отримуємо, що векторна сума (а) перетворюється в алгебраїчну різницю, яка дорівнює

.

Отже, для плоскої фігури в кожний момент часу є миттєвий центр швидкостей.

З доведення даного твердження випливає, що:

1. Миттєвий центр швидкостей плоскої фігури знаходиться на промені, перпендикулярному до вектора швидкості полюса.

2. Відстань до миттєвого центра швидкостей визначається за формулою

. (67)

Припустимо тепер, що миттєвий центр швидкостей Р взято за полюс плоскої фігури (див. формулу 2.65)

і, враховуючи, що швидкість полюса в даному випадку дорівнює нулеві ( ), отримаємо такий результат:

. (2.68)

Швидкість будь-якої точки плоскої фігури є обертальною швидкістю навколо миттєвого центра швидкостей

З отриманого результату випливає:

1. Оскільки , то і .

Оскільки К – довільна точка плоскої фігури, то маємо, що

вектори швидкостей точок плоскої фігури перпендикулярні до відрізків, що з’єднують відповідні точки з миттєвим центром швидкостей.

2. За формулою обертальної швидкості з (2.68) отримуємо

. (2.69)

Швидкість будь-якої точки плоскої фігури чисельно дорівнює добутку кутової швидкості на відстань даної точки до миттєвого центра швидкостей.

3. Формулу (2.69) можна застосувати для визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури. Для точок А, В і С матимемо

,

,

.

Звідси отримуємо, що

. (2.70)

Швидкості точок плоскої фігури пропорційні відстаням даних точок до миттєвого центра швидкостей. Коефіцієнт пропорційності дорівнює кутовій швидкості плоскої фігури.

Формули (2.68)-(2.70) визначають швидкості точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центра швидкостей. На основі цих формул можна зобразити розподіл (еп’юр) швидкостей точок плоскої фігури. Цей розподіл має вигляд, який зображений на рис. 120. На цьому рисунку показано: Р – миттєвий центр швидкостей плоскої фігури; вектори швидкостей точок плоскої фігури, які перпендикулярні до відрізків, що з’єднують відповідні точки з миттєвим центром швидкостей; величини їх пропорційні відстаням даних точок до миттєвого центра швидкостей. Цей розподіл відповідає розподілу швидкостей точок тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, тобто, в кожний момент часу швидкості точок плоскої фігури розподілені так, немов би фігура обертається навколо точки Р. Саме тому миттєвий центр швидкостей плоскої фігури називають миттєвим центром її повороту. До того ж є відповідна теорема (див. теорему Шаля), згідно з якою:

1. Плоску фігуру можна перемістити з одного положення в будь-яке інше шляхом одного повороту навколо деякої точки, яка називається центром повороту.

2. Граничне положення центра повороту, тобто положення центра повороту для нескінченно малого переміщення плоскої фігури, є не що інше, як миттєвий центр швидкостей плоскої фігури.

§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого
центра швидкостей

Користуючись поняттям миттєвого центра швидкостей, набагато спрощується визначення швидкостей точок плоскої фігури. Положення самого миттєвого центра швидкостей можна визначити або з механічної умови задачі, або за відомими швидкостями точок плоскої фігури.

З попереднього відомо, що миттєвий центр швидкостей знаходиться на перпендикулярі, поставленому до вектора швидкості полюса. Звідси випливає, що, коли відомі напрями швидкостей і двох точок А і В плоскої фігури (рис. 121), то миттєвий центр швидкостей Р буде знаходитися в точці перетину перпендикулярів, поставлених в точках А і В до напрямів векторів швидкостей цих точок.

Інші часткові випадки знаходження положення миттєвого центра швидкостей зображені на рис. 122.

Рис. 122

Всі вони відповідають основним положенням, які були сформульовані вище.

Зазначимо, що у випадку, зображеному на рис. 122 в, миттєвий центр швидкостей плоскої фігури знаходиться в нескінченності. Кутова швидкість плоскої фігури, яка визначається за формулою (див. 2.70)

, або ,

буде дорівнювати нулеві. Це означає, що обертальні швидкості всіх точок плоскої фігури навколо полюса дорівнюють нулеві. Звідси випливає, що швидкість всіх точок плоскої фігури дорівнюють швидкості полюса, тобто в даний момент часу плоска фігура буде здійснювати миттєво поступальний рух. Для цього руху швидкості всіх точок плоскої фігури геометрично рівні

,

а пришвидшення загалом різні

.

Якщо плоска фігура котиться по нерухомій поверхні без ковзання (наприклад, колесо – рис. 123), то її миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці дотику плоскої фігури з нерухомою поверхнею. Адже ця точка одночасно належить плоскій фігурі і поверхні, і її швидкість в даний момент дорівнює нулеві, бо поверхня нерухома. При русі плоскої фігури положення миттєвого центра швидкостей змінюється.

Геометричне місце послідовних положень на площині миттєвого центра швидкостей (або лінія, яка описується миттєвим центром швидкостей) називається центроїдою.

В плоскопаралельному русі розрізняють дві центроїди: рухому і нерухому (рис. 124).

Нерухома центроїда – це лінія, яка описується миттєвим центром швидкостей в нерухомій площині.

Рухома центроїда – це лінія, яка описується миттєвим центром швидкостей в рухомій площині, яка з’єднана з плоскою фігурою. При русі плоскої фігури рухома центроїда котиться без ковзання по нерухомій центроїді (рис. 124).

§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок
плоскої фігури

Розглянемо плоску фігуру, котра переміщається в площині рисунка (рис. 125). За полюс плоскої фігури візьмемо точку О, яка в цей момент часу має пришвидшення . Нехай навколо полюса плоска фігура обертається з кутовою швидкістю , маючи в даний момент кутове пришвидшення , як вказано на рис. 125.

Візьмемо довільну точку К плоскої фігури, положення якої відносно полюса О визначається радіусом-вектором , і визначимо її пришвидшення.

Оскільки рух плоскої фігури є складним рухом, який складається з поступального руху разом з полюсом і обертального руху навколо полюса, то кожна точка плоскої фігури здійснює також складний рух. Якщо так, то пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури можна визначити за теоремою Коріоліса (див. формулу 2.59).

. (а)

Прийнявши поступальний рух плоскої фігури за переносний рух, отримаємо, що переносне пришвидшення всіх точок плоскої фігури буде однакове і дорівнюватиме пришвидшенню полюса

. (б)

Коріолісове пришвидшення всіх точок плоскої фігури буде дорівнювати нулеві, бо переносний рух є поступальним

. (в)

Відносним рухом плоскої фігури є обертання її навколо полюса О, тому відносне пришвидшення точки К буде визначатися, як визначається пришвидшення точки в обертальному русі (див. формули 2.49 а, 2.56, 2.57)

. (г)

Підставляючи (б, в, г) у формулу (а), отримуємо

. (2.71)

Пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі пришвидшення полюса і пришвидшення даної точки в обертанні навколо полюса.

Формулу (2.71) з врахуванням залежності (г) можна представити і так:

. (2.72)

Пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі трьох пришвидшень: при-швидшення полюса, обертального і доцентрового пришвидшень даної точки в обертанні навколо полюса.

Отримані формули (2.71) або (2.72) виражають теорему про пришвидшення точок плоскої фігури. Отже, згідно з даною теоремою, щоб знайти пришвидшення деякої точки плоскої фігури, необхідно мати пришвидшення полюса і визначити пришвидшення даної точки в обертанні навколо полюса. Останнє складається з доцентрового пришвидшення, величина якого обчислюються за формулою (див. формулу 2.46)

і вектор якого напрямлений від точки К до полюса, і обертального пришвидшення, величина якого обчислюється за формулою (див. 2.47)

і вектор якого напрямлений перпендикулярно до відрізка ОК в бік кутового пришвидшення (рис. 126). Геометрично склавши і , отримаємо пришвидшення точки в обертальному русі навколо полюса О, величина якого знаходиться за формулою

. (2.73)

Цей вектор утворює кут з відрізком ОК. Тангенс цього кута визначається за формулою

. (2.74)

Вектор загального пришвидшення точки К є діагональ паралелограма, побудованого на векторах пришвидшень і (рис. 126).

§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень

Миттєвим центром пришвидшень називається точка під час плоского руху тіла, пришвидшення якої в даний момент часу дорівнює нулеві.

Миттєвий центр пришвидшень найчастіше позначається буквою , отже .

Покажемо, що в кожний момент часу існує точка плоскої фігури, пришвидшення якої в цей момент часу дорівнює нулеві.

Для цього розглянемо плоску фігуру, котра рухається в площині рисунка (рис. 127). За полюс плоскої фігури візьмемо точку О. Нехай в деякий момент часу полюс має пришвидшення , а плоска фігура обертається навколо полюса з кутовим пришвидшенням , маючи в даний момент часу кутову швидкість , як вказано на рис. 127. З точки під кутом до вектора проведемо промінь ОЕ, причому кут вибираємо таким, що

. (а)

Кут відкладається від вектора в бік дугової стрілки кутового пришвидшення .

На цьому промені візьмемо точку В на відстані

(б)

і визначимо її пришвидшення. За формулою (2.71) маємо

. (в)

Величина вектора пришвидшення точки В в обертанні навколо полюса О визначається формулою (2.73) і в нашому випадку, враховуючи (б), отримаємо

. (г)

Цей вектор, як доведено вище, утворює з відрізком ОВ кут , який задовольняє умову (див. формулу 2.74)

,

тобто , а це означає (див. рис. 127), що вектори і напрямлені протилежно, і векторна сума (в) перетворюється в просту алгебраїчну різницю

,

Отже, пришвидшення точки В дорівнює нулеві, тобто точка В є миттєвим центром пришвидшень ( ) плоскої фігури.

З доведення випливає:

1. Миттєвий центр пришвидшень знаходиться на промені, який утворює з вектором пришвидшення полюса кут , тангенс якого визначається за формулою

. (2.75)

Цей кут необхідно відкладати від вектора в бік .

Напрям дугової стрілки визначається знаком алгебраїчного кутового пришвидшення .

2. Відстань до миттєвого центра пришвидшень визначається за формулою

, (2.76)

в якій – прискорення полюса.

Формули (2.75) і (2.76) є загальними формулами, за допомогою яких визначається положення миттєвого центра пришвидшень.

Розглянемо часткові випадки.

1. Плоска фігура навколо полюса обертається з постійною кутовою швидкістю, тобто . Тоді кутове пришвидшення плоскої фігури . Отже

,

а це означає, що миттєвий центр пришвидшень знаходиться на промені, по якому напрямлений вектор пришвидшення полюса плоскої фігури. Оскільки за полюс плоскої фігури можна брати будь-яку її точку, то, очевидно, миттєвий центр пришвидшень знаходиться в точці перетину променів, по яких напрямлені пришвидшення точок плоскої фігури (рис. 128).

2. Нехай кутова швидкість плоскої фігури , а її кутове пришвидшення , тобто плоска фігура здійснює миттєвий поступальний рух, тоді

.

В даному випадку миттєвий центр пришвидшень плоскої фігури буде знаходитись в точці перетину перпендикулярів до векторів пришвидшень точок фігури, які проведені з цих точок (рис. 129).

Якщо відомі вектори пришвидшень двох точок плоскої фігури, то миттєвий центр пришвидш