Псевдоевклидовом пространстве индекса 3

Совокупность координат события (ct, x, у, z) в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 3 можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора) в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через хⁱ, где индекс i пробегает значения 0, 1,2, 3, причем

x⁰ = ct, x¹ = x , x² = у, x³ = z.

Квадрат «длины» 4-радиус-вектора в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 3 дается выражением

(x⁰)²–(–(x¹)²–(x²)²+(x³)²) =(x⁰)²+(x¹)²+(x²)²–(x³)².

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.

Вообще четырехмерным вектором (4-вектором) Аⁱ в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 3 назовем совокупность четырех величин А⁰, А¹, А², А³, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора хⁱ. При преобразовании Лоренца

А⁰ =(А'⁰+(V/c)А'³)/(1–(V/c)²)^-1/2,

А¹ = А¹',

А² = А²',

А³ =(А'³+(V/c)А'⁰)/(1–(V/c)²)^-1/2. (1)

Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:

(A⁰)²–(–(A¹)²–(A²)²+(A³)²)=(A⁰)²+(A¹)²+(A²)²–(A³)².

Для удобства записи подобных выражений введем два «сорта» компонент 4-векторов, обозначая их буквами Аⁱ и A_i с индексами сверху и снизу. При этом

А₀ = А⁰, А₁ = А¹ А₂ = А² А₃ = –А³ .(2)

Величины Аⁱ называют контравариантными, a A_i - ковариантными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора представится тогда в виде

Σ=А⁰А₀+ А¹А₁+ А²А₂+ А³А₃.

Такие суммы принято записывать просто как AⁱA_i, опуская знак суммирования. Вообще принимается правило, согласно которому по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. Такой способ обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень удобен и значительно упрощает запись формул.

В этой работе мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими буквами i, k, l,….

Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов:

AⁱB_i = А⁰B₀+ А¹B₁+ А²B₂+ А³B₃.

При этом, очевидно, его можно записать как в виде AⁱB_i, так и в виде A_iBⁱ, - результат от этого не меняется. Вообще во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.

Произведение AⁱB_i является 4-скаляром - оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат. Это обстоятельство легко проверить непосредственно, но оно и заранее очевидно (по аналогии с квадратом AⁱA_i)из того, что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону. При этом надо помнить, что закон преобразования 4-вектора, выраженный через ковариантные компоненты, отличается (в знаках) от того же закона, выраженного в контравариантных компонентах. Так, вместо (1) будем, очевидно, иметь:

А₀ =(А'₀–(V/c)А'₃)/(1–(V/c)₂)^-1/2,

А₁ =А'₁,

А₂ = А'₂,

А₃ =(А'₃–(V/c)А'₀)/(1–(V/c)₂)^-1/2.

Компоненту 4-вектора А⁰ назовем временной, а компоненты A¹, А², А³ - пространственными (по аналогии с 4-радиус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю; в этих трех случаях говорят соответственно о времениподобных, пространственно-подобных и изотропных 4-векторах (по аналогии с терминологией для интервалов).

По отношению к чисто пространственным поворотам (т. е. преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора Аⁱ составляют трехмерный вектор А. Временная же компонента 4-вектора представляет собой (по отношению к тем же преобразованиям) трехмерный скаляр. Перечисляя компоненты 4-вектора, мы будем записывать их как

Аⁱ =( А⁰, А¹, А², А³)=(А⁰, А).

При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора:
A_i =( А⁰, А¹, А², – А³) ≠ (А⁰,–A), а квадрат 4-вектора:

АⁱА_i = (А⁰)² –(–(А¹)² –(А²)² +(А³)²) =(А⁰)² –A².

Так, для 4-радиус-вектора:

хⁱ=(ct,r), x_i=(ct,x¹,x²,–x³), xⁱx_i =(ct)² –(–(x¹)²–(x²)²+(x³)²)=( x ⁰)² –r² .

У трехмерных векторов (в координатах х, у, z), очевидно, есть необходимость различать контра- и ковариантные компоненты. Мы будем писать их компоненты Аⁱ=(x¹,x²,x³), А_i=(x¹,x²,–x³) с индексами вверху и внизу, обозначая эти индексы латинскими буквами. В частности, по дважды повторяющимся латинским индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям индексов 1,2,3 (например, АВ =АⁱВ_i).

Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга назовем совокупность 16 величин A^ik, которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов.

Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные A^ik, ковариантные A_ik и смешанные Аⁱ_k (в последнем случае надо, вообще говоря, различать Aⁱ_k и A_i^k т. е. следить за тем, какой именно - первый или второй - индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1, 2, 3) меняет знак третьей компоненты. Так:

А₀₀ = А⁰⁰ , А₀₁ = А⁰¹ , А₁₁= А¹¹ , ... ,

А⁰₀ = А⁰⁰ , А₀¹ = А⁰¹ , А⁰₁ = А⁰¹ , А¹₁ = А¹¹ ,..., но, например, А⁰₃ = –А⁰³.

По отношению к чисто пространственным преобразованиям девять компонент A¹¹, A¹², ... составляют трехмерный тензор. Три компоненты A⁰¹, A⁰², A⁰³ и три компоненты A¹⁰, A²⁰, A³⁰ составляют трехмерные векторы, а компонента A⁰⁰ является трехмерным скаляром.

Тензор A^ik называется симметричным, если A^ik = A^ki, и антисимметричным, если A^ik = –A^ki. У антисимметричного тензора все диагональные компоненты (т. е. компоненты A⁰⁰, A¹¹, ...) равны нулю, так как, например, должно быть A⁰⁰ = –A⁰⁰. У симметричного тензора A^ik смешанные компоненты Aⁱ_k и А_кⁱ , очевидно, совпадают; мы будем писать в таких случаях просто Aⁱ_k, располагая индексы один над другим.

Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (вверху или внизу) свободные, т. е. не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе.

Из компонент тензора A^ik можно образовать скаляр путем образования суммы

Aⁱ_i = A⁰₀ + A¹₁ +A²₂ +A³₃

(при этом, конечно, Aⁱ_i = A_iⁱ). Такую сумму называют следом тензора, а об операции его образования говорят как о свертывании или упрощении тензора.

Операцией свертывания является и рассмотренное выше образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть образование скаляра AⁱB_i из тензора AⁱB_k. Вообще всякое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2. Например, Аⁱ_кli есть тензор 2-го ранга, Аⁱ_кВ^к - 4-вектор, A^ik_ik - скаляр и т. д.

Единичным 4-тензором назовем тензор δⁱ_к для которого имеет место равенство

δ^k_i Аⁱ = А^k (3)

при любом 4-векторе Аⁱ. Очевидно, что компоненты этого тензора равны 1, если i=k или 0, если i ≠ k. Его след: δⁱ_i = 4.

Поднимая у тензора δ^k_i один или опуская другой индекс, мы получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают как g^ik или g_ik и называют метрическим тензором. Тензоры g^ik и g_ik имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы:

(индекс i нумерует строки, а индекс k - столбцы в порядке значений 0, 1, 2, 3). Очевидно, что

g_ikA^k = A_i, g^ikA_k = Aⁱ. (6)

Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде

AⁱA_i=g_ikAⁱA^k = g^ikA_iA_k. (7)

Тензоры δⁱ_к, g_ik, g^ik исключительны в том отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат. Таким же свойством обладает и совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга e^iklm. Так называется тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем отличные от нуля компоненты равны ±l. Из антисимметричности следует, что все компоненты этого тензора, у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так что отличны от нуля лишь те, у которых все четыре индекса различны. Положим

е⁰¹²³ = + 1 (8)

(при этом е⁰¹²³ = –1). Тогда все отличные от нуля компоненты e^iklm равны +1 или –1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок (транспозиций) могут быть приведены числа i, k, l, т кпоследовательности 0, 1, 2, 3. Число таких компонент равно 4! = 24. Поэтому

e^iklme_iklm =–24.(9)

По отношению к поворотам системы координат; величины e^iklm ведут себя как компоненты тензора; однако при изменении знака у одной или трех координат компоненты e^iklm, будучи определены одинаково для всех систем координат, не изменяются, в то время как компоненты тензора должны были бы изменить знак. Поэтому e^iklm есть, собственно говоря, не тензор, а, как говорят, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга, в частности псевдоскаляры, ведут себя как тензоры при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не могут быть сведены к поворотам, т. е. за исключением отражений - изменений знаков координат, не сводимых к вращениям.

Произведения e^iklme^prst образуют 4-тензор 8-го ранга, причем уже тензор истинный; упрощением по одной или нескольким парам индексов из него получаются тензоры 6-го, 4-го и 2-го рангов. Все эти тензоры имеют одинаковый вид во всех координатных системах. Поэтому их компоненты должны выражаться в виде комбинаций произведений компонент единичного тензора δⁱ_к - единственного истинного тензора, компоненты которого во всех системах одинаковы. Эти комбинации легко составить, исходя из свойств симметрии по отношению к перестановкам индексов, которыми они должны обладать. Приведем для справок соответствующие формулы:

Общие коэффициенты в этих формулах проверяются по результату полного свертывания, которое должно дать (9).

Как следствие первой из этих формул имеем:

e^prstA_ipA_krA_lsA_mt = –Ae_iklm, e^iklme^prst A_ipA_krA_lsA_mt =24A,

где А - определитель, составленный из величин А_ik.

Если A^ik - антисимметричный тензор, то тензор A^ik и псевдотензор A^*ik=1/2e^iklmA_lm называются дуальными друг другу. Аналогично A^*ikl=1/2e^iklmA_m есть антисимметричный псевдотензор третьего ранга, дуальный вектору Aⁱ. Произведение A^ikA^*_ik дуальных тензоров есть, очевидно, псевдоскаляр.

В связи со сказанным уточним некоторые аналогичные свойства трехмерных векторов и тензоров. Совершенно антисимметричным единичным псевдотензором 3-го ранга называется совокупность величин e^ikl, меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты e^ikl с тремя различными индексами. При этом полагаем е¹²³=1 (при этом е₁₂₃=–1)остальные же равны 1 или –1, смотря по тому, четным или нечетным числом транспозиций можно привести последовательность i, k, l к последовательности 1, 2, 3.

Неизменность компонент 4-тензора e^iklm по отношению к вращениям 4-системы координат и неизменность компонент 3-тензора e^ikl по отношению к вращениям пространственных осей координат являются частными случаями общего правила: всякий совершенно антисимметричный тензор ранга, равного числу измерений пространства, в котором он определен, инвариантен при вращениях системы координат в этом пространстве.

Произведения e^ikle^prs составляют истинный трехмерный тензор 6-го ранга и потому выражаются в виде комбинаций произведений компонент единичного трехмерного тензора δⁱ_к. Приведем для справок соответствующие формулы:

Упрощая этот тензор по одной, двум и трем парам индексов, получим:

e^ikle_pkl= 2 δⁱ_p ,

e^ikle_ikl= 6.

Общие коэффициенты в этих формулах проверяются по результату полного свертывания, которое должно дать 6.

Как следствие первой из этих формул имеем:

e^prsA_ipA_krA_ls = Ae_ikl, e^ikle^prsA_ipA_krA_ls = 6A,

где А - определитель, составленный из величин А_ik.

При отражении системы координат, т. е. при изменении знака всех координат, компоненты обычного трехмерного вектора тоже меняют знак. Такие векторы называют полярными. Компоненты же вектора, который может быть представлен как векторное произведение двух полярных векторов, при отражении не меняют знак. Такие векторы называются аксиальными. Скалярное произведение полярного и аксиального векторов является не истинным, а псевдоскаляром: при отражении координат оно меняет знак. Аксиальный вектор является псевдовектором, дуальным антисимметричному тензору. Так, если С=[АВ], то

Сⁱ = 1/2e^ikl С_kl, где С_kl =А_kВ_l – А_lВ_k .

При этом в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 2

Вернемся к 4-тензорам. Пространственные (i, k, ... =1,2,3) компоненты антисимметричного 4-тензора A^ik составляют по отношению к чисто пространственным преобразованиям трехмерный антисимметричный тензор; согласно сказанному выше его компоненты выражаются через компоненты трехмерного аксиального вектора. Компоненты же A⁰¹, A⁰², A⁰³ составляют, по отношению к тем же преобразованиям, трехмерный полярный вектор. Таким образом, компоненты антисимметричного 4-тензора можно представить в виде таблицы:

причем по отношению к пространственным преобразованиям р и а - полярный и аксиальный векторы. Перечисляя компоненты антисимметричного 4-тензора, мы будем записывать их в виде

A^ik = (p, а);

тогда ковариантные компоненты того же тензора

Остановимся, наконец, на некоторых дифференциальных операциях четырехмерного тензорного анализа. 4-градиент скаляра φ есть 4-вектор

дφ/дхⁱ=(дφ/cдt, дφ/дx¹, дφ/ x², дφ/дx³).

При этом необходимо иметь в виду, что написанные производные должны рассматриваться как ковариантные компоненты 4-вектора. Действительно, дифференциал скаляра dφ=(дφ/дхⁱ)dхⁱ тоже есть скаляр; из его вида (скалярное произведение двух 4-векторов) и очевидно сделанное утверждение.

Вообще операторы дифференцирования по координатам хⁱ, д/дхⁱ должны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Поэтому, например, является скаляром дивергенция 4-век-тора – выражение дАⁱ/дхⁱ в котором дифференцируются контравариантные компоненты Аⁱ.

Если же производить дифференцирования по ковариантным координатам х_i , то производные

дφ/дх_i= g^ikдφ/дх^k =(дφ/cдt, дφ/дx¹, дφ/ x², –дφ/дx³).

Очевидно, что операции над векторами в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 3 отличаются лишь в координатной записи от операций над векторами в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Это, в частности, дает иную координатную запись квадрата 4-вектора.