Типы финслеровых геометрий

Рассмотрим преобразования временного интервала и пространственного расстояния при переходах между движущимися локальными системами и . В системе имеем скорости светового сигнала

, , , (2.1)

, , . (2.2)

Для наглядности примем, что элемент твердого тела расположен вдоль положительного направления . Он начинает движение от начала координатной сетки системы . Физическая длина элемента твердого тела, расположенного вдоль положительного направления , равняется и является, согласно (1.8), абсолютной величиной. Направление совпадает с направлением .

Рассмотрим первый случай. Воспользуемся методом коэффициента для света идущего от к и от к и запишем соотношения

, (2.3)

. (2.4)

В других случаях расположения элемента твердого тела в системах и имеют место соотношения, отличные от (2.3) и (2.4) с другими значениями скорости света. Коэффициенты и описывают эффект Допплера в прямом и обратном направлениях. Согласно (2.3) и (2.4) получим равенства

(2.5)

. (2.6)

При и имеем, соответственно, и , где и есть относительные скорости систем. Из (2.6) вытекает выражение

, (2.7)

из которого находим взаимосвязь между скоростями

. (2.8)

При и , а также с учетом (2.7), равенство (2.6) для одинаково направленных скоростей преобразуется следующим образом

. (2.9)

Из него, в частности, при , вытекает закон композиции безразмерных одинаково направленных анизотропных скоростей

, (2.10)

множество которых образует абелевую группу.

Определители прямых и обратных преобразований, вытекаемых из соотношений (2.3) и (2.4), равняются и . Учитывая (2.7), получим значения

, , (2.11)

где , как и , обладает групповым свойством

. (2.12)

Используя закон композиции в виде (2.9) и равенство (2.12), получим уравнение

, (2.13)

имеющее одинаковый вид и для скоростей , . Инвариантный параметр может зависеть от инвариантных значений и . Интегрируя (2.13) при условии , получим выражение , преобразования и квадрат форм-инвариантной метрической функции в следующих типах локальных финслеровых геометрий.

Тип I .

, (2.14)

, , (2.15)

, (2.16)

(2.17)

Тип II .

, (2.18)

, , (2.19)

, (2.20)

, (2.21)

Значение и преобразования в типе II вытекают из формул (2.13), (2.15)-(2.17) в типе I формально при .

Тип III .

, (2.22)

, , (2.23)

, (2.24)

. (2.25)

Тип IV .

, (2.26)

, , (2.27)

. (2.28)

Формулы для типа III получены на основании результатов работы [18]. Формулы для типа IV получены из соотношений (2.18)-(2.21) в типе II при . При и первые три типа соответствуют для определенных значений и трём типам локальных финслеровых геометрий с индикатрисой постоянной кривизны, рассмотренных в работе [19].

Рассмотрим случай с и запишем интервал собственного времени в типе I так

. (2.29)

Равенство соответствует геометрии Галилея и имеет место при , если выполняются соотношения

, . (2.30)

Из (2.30) получим инвариантное значение параметра

(2.31)

и, следовательно, интервал собственного времени примет вид

(2.32)

Квадрат финслеровой метрической функции запишется так

.(2.33)

В работах [13], [19] и [20] рассматривается анизотропия физической скорости света ( , , ) для квадрата финслеровой метрической функции (2.33) без коэффициента . Там же приводятся соответствующие нелинейные и линейные преобразования для случая двумерного и четырехмерного финслерового пространства-времени с одним скалярным параметром. Случай анизотропии координатной скорости света с исследуется в [21].

Для случая в типе I имеем

.(2.34)

В случае и получим

. (2.35)

Обобщением выражения (2.35) с учетом (1.6)-(1.8) для четырехмерного пространства-времени является

. (2.36)

В отличие от работы [22] в (2.36) отсутствует четырехмерный вектор с , указывающей локально выделенные направления. Обобщение результатов работы [22] на случай анизотропии координатной скорости света дается в [32]. Следует отметить, что добавление к рассмотренным преобразованиям ещё двух и не приводят к замене в приведенных метрических функциях.

В галилеевых координатах имеем квадрат финслеровой метрической функции

, (2.37)

требующей отдельного рассмотрения.