Пространстве индекса два

Линейное преобразование х′=Ахс вещественной матрицей

 

a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31 a32 a33

 

назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет условию

A = A=I,

где черточка обозначает операцию

= GAТG,

индекс T – операцию транспонирования, G – метрический тензор,

0 0
G= 0 0
0 0 αβ ,

 

причем a,β=±1, так что G=GT, G2=I и

 

a11 αβa21 -βa31
=GATG= αβa12 a22 -αa32
-βa13 -αa23 a33 .

 

Очевидно, что

=G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= ,

и = =G(GАТG)TG=GGAGG=A.

Преобразование вращения в трехмерном псевдоевклидовом векторном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразование является собственным вращением, если оно сохраняет также векторное произведение двух векторов и det ||A||=1. Преобразование с det ||A||= -1 является несобственным вращением или вращением с отражением.

Пусть е1, е2, е3 – любой ортонормированный базис, и пусть

х1е12е23е3 и х′=х1е12е23е3.

Каждое преобразование вращения задается формулами

х1′= a11 х1+a12 х2 +a13х3,

х2′= a21 х1+a22 х2+a23х3,

х3′= a31 х1+a32 х2+a33х3

или в матричной форме

Х′= AХ,

где для собственных вращений det(A)=1.

Так как рассматриваемая система координат является ортонормированной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, определяется системой равенств

а11а11+αβа12а12-βа13а13 αβа11а2112а22-αа13а23 -βа11а31-αа12а32+ а13а33
А = а21а11+αβа22а12-βа23а13 αβа21а2122а22-αа23а23 -βа21а31-αа22а32+ а23а33 =I
а31а11+αβа32а12-βа33а13 αβа31а2132а22-αа33а23 -βа31а31-αа32а32+ а33а33

 

 

или, что равносильно,

а11а11+αβа21а21-βа31а31 а11а12+αβа21а22-βа31а32 а11а13+αβа21а23- βа31а33
А= αβа12а11+ а22а21-αа32а31 αβа12а12+ а22а22-αа32а32 αβа12а13+ а22а23- αа32а33 =I.
-βа13а11- αа23а21+ а33а31 -βа13а12- αа23а22+ а33а32 -βа13а13- αа23а23+ а33а33

 

Любые три из коэффициентов аik определяют все остальные. Геометрически коэффициент аik определяет угол между базисным вектором ei и повернутым базисным вектором

ek′=Aek= аjkej,

аik=(ei ek).

Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки трехмерного псевдоевклидового пространства на угол поворота δ вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота δ, а также направляющие углы положительной оси вращения определяются формулами

Chδ= (Tr (A)-1)= (a11+ a22+ a33-1)=2λ02-1

αа23+ а32=2с1Shδ=4λ1λ0,

31-βа13=2с2Shδ=4λ2λ0,

βа12-αа21=2с3Shδ=4λ3λ0.

Либо знак угла δ, либо направление оси вращения могут выбираться произвольно.

Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами δ, с1, с2,…, с7, есть

-αс1с1 -βс1с2 αβс1с3
-αс2с1 -βс2с2 αβс2с3 +
-αс3с1 -βс3с2 αβс3с3

 

0 βс3 -βс2
+Shδ -αс3 0 αс1 .
-с2 с1 0

Четыре симметричных параметра (Эйлера)

λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ,

λ02-αλ12-βλ22+αβλ32=1

-αс12-βс22+αβс32= -1

однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

-α(λ1λ1- αλ0λ0) -β(λ1λ2- λ3λ0) αβ(λ1λ3- αλ2λ0)
А= -I+2* -α(λ2λ1+ λ3λ0) -β(λ2λ2- βλ0λ0) αβ(λ2λ3+ βλ1λ0) .
-α(λ3λ1+αλ2λ0) -β(λ3λ2- βλ1λ0) αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)

При этом

-α(λ1λ1- αλ0λ0) -β(λ1λ2+ λ3λ0) αβ(λ1λ3+ αλ2λ0)
= -I+2* -α(λ2λ1- λ3λ0) -β(λ2λ2- βλ0λ0) αβ(λ2λ3- βλ1λ0) .
-α(λ3λ1- αλ2λ0) -β(λ3λ2+βλ1λ0) αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)

 

Будем считать для определенности α=β=1. В принятом предположении

Chδ= (Tr (A)-1)= (a11+ a22+ a33-1)=2λ02-1

βа23+ а32=2с1Shδ=4λ1λ0,

31-βа13=2с2Shδ=4λ2λ0,

βа12-βа21=2с3Shδ=4λ3λ0.

 

-βс1с1 -βс1с2 с1с3 0 βс3 -βс2
-βс2с1 -βс2с2 с2с3 +Shδ -βс3 0 βс1 .
-βс3с1 -βс3с2 с3с3 -с2 с1 0

 

Четыре симмметричных параметра (Эйлера)

λ0212-βλ2232=1,

-βс12-βс2232 = -1,

однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

-β(λ1λ1- βλ0λ0) -β(λ1λ2- λ3λ0) λ1λ3 -βλ2λ0
-β(λ2λ1+ λ3λ0) -β(λ2λ2-βλ0λ0) λ2λ3+βλ1λ0
-β(λ3λ1+βλ2λ0) -β(λ3λ2-βλ1λ0) λ3λ3+ λ0λ0 ,

при этом

-β(λ1λ1- βλ0λ0) -β(λ1λ2+ λ3λ0) λ1λ3+βλ2λ0
= -I+2* -β(λ2λ - λ3λ0) -β(λ2λ2- βλ0λ0) λ2λ3- βλ1λ0
-β(λ3λ1-βλ2λ0) -β(λ3λ2+βλ1λ0) λ3λ3+ λ0λ0 ,

а параметры λ0, λ1, λ2, λ3 и–λ0,λ1, λ2, λ3 представляют одно и то же вращение.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

 

1 0 0
А1(φ)= 0 Chφ βShφ
0 Shφ Chφ

 

Chφ 0 -βShφ
А2(φ)= 0 1 0
-Shφ 0 Chφ

 

cosφ βsinφ 0
А3(φ)= -βsinφ cosφ 0
0 0 1 .

Заметим, что

Аi(-φ), i= 1, 2, 3.

Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц

в частности, так:

А=A31)A22)A33)=

 

cosφ1 βsinφ1 0 Chφ2 0 -βShφ2 cosφ3 βsinφ3 0
= -βsinφ1 cosφ1 0 * 0 1 0 * -βsinφ3 cosφ3 0 =
0 0 1 -Shφ2 0 Chφ2 0 0 1

 

cosφ1Chφ2cosφ3 - sinφ1sinφ3 βcosφ1Chφ2sinφ3+βsinφ1cosφ3 -βcosφ1Shφ2
= -βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3 -sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3 sinφ1Shφ2 .
-Shφ2cosφ3 -βShφ2sinφ3 Chφ2

 

Три угла (Эйлера) φ1, φ2, φ3,однозначно определяют вращение; в свою очередь они однозначно определяются данным вращением за исключением случая, когда φ2=0 (карданов подвес).

Обратное вращение А-1= (переводящее вектор х в исходный вектор х) представляется матрицей

=A3(-φ3)A2(-φ2)A3(-φ1)=

 

cosφ1Chφ2cosφ3- sinφ1sinφ3 -βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3 βShφ2cosφ3
= βcosφ1Chφ2sinφ3+βsinφ1cosφ3 -sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3 Shφ2sinφ3 ….
cosφ1Shφ2 -βsinφ1Shφ2 Chφ2

Существуют шесть способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг двух различных осей координат. Кроме того, существует шесть способов представления матриц вращения в виде произведения вращений вокруг трех различных осей координат, в частности, так:

1 0 0 Chφ2 0 -βShφ2 cosφ3 βsinφ3 0
A=A11) A22) A33)= 0 Chφ1 βShφ1 0 1 0 -βsinφ3 cosφ3 0 =
0 Shφ1 Chφ1 -Shφ2 0 Chφ2 0 0 1

 

Chφ2cosφ3 -βChφ2sinφ3 -βShφ2
= -βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3 -Shφ1Shφ2sinφ3+Chφ1cosφ3 βShφ1Chφ2
-Chφ1Shφ2cosφ3-βShφ1sinφ3 -βChφ1Shφ2sinφ3+Shφ1cosφ3 Chφ1Chφ2

при =A3(-φ3) A2(-φ2) A1(-φ1)=

Chφ2cosφ3 -βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3 βChφ1Shφ2cosφ3+ Shφ1sinφ3
= -βChφ2sinφ3 -Shφ1Shφ2sinφ3+ Chφ1cosφ3 Chφ1Shφ2sinφ3-βShφ1cosφ3 .
Shφ2 -Shφ1Chφ2 Chφ1Chφ2

 








Дата добавления: 2015-06-01; просмотров: 577;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.029 сек.