Розв’язок рівняння Дірака для вільної частинки. Від’ємні енергії. Позитрон.

Рівняння Дірака — релятивістсько-інваріантне рівняння руху для біспінорного класичного поля електрона, застосовне також для опису інших точкових ферміонів зі спіном 1/2. Його вперше записав Поль Дірак у 1928.

Рівняння Дірака призвело до пояснення напівцілого спіну електрона та до відкриття античастинок, якими для електрона єпозитрони. Частинку зі спіном 1/2 описує нерелятивістське рівняння Паулі, до якого зводиться рівняння Дірака при малих енергіях.

Рівняння Дірака записується в вигляді

де — маса електрона (або іншого ферміона, що описується рівнянням), — швидкість світла, — три оператори компонент імпульсу (x, y, z), , — стала Планка, x=(x, y, z) і t просторові координати і час, відповідно, та — чотирикомпонентна комплексна хвильова функція (біспінор).

— лінійні оператори над простором біспінорів, які діють на хвильову функцію. Ці оператори підібрані таки чином, що кожна пара таких операторів антикомутує, а квадрат кожного дорівнює одиниці:

, де і індекси змінюються від 0 до 3,

для від 0 до 3.

У даному представленні ці оператори є матрицями розміру 4×4 (це мінімальний розмір матриць, для яких виконуються умови антикомутації) і називаються альфа-матрицями Дірака

Весь оператор в дужках в лівій частині рівняння називається оператором Дірака, точніше, в сучасній термінології його слід називати гамільтоніаном Дірака, оскільки оператором Дірака зазвичай називають коваріантний оператор D, з яким рівняння Дірака записується у вигляді DΨ=0 (як описано в наступному зауваженні).

У сучасній фізиці часто використовується коваріантна форма запису[1] рівняння Дірака (детальніше див. нижче):

Рівняння Дірака — релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера:

Для зручності ми будемо працювати в координатному представленні, в якому стан системи задається хвильовою функцією ψ(x,t). В цьому представленні рівняння Шредінгера записується у вигляді

де гамільтоніан тепер діє на хвильову функцію.

Гамільтоніан потрібно визначит так, щоб він описував повну енергію системи. Для нерелятивістського вільного електрона (який ні з чим не взаємодіє, ізольований від усіх сторонніх полів) гамільтоніан має вигляд аналогічний кінетичній енергії в класичній механіці (якщо не брати до уваги ні релятивістських поправок, ні спіну):

де pj — оператори проекцій імпульсу, де індекс j =1,2,3 означає декартові координати. Кожен такий оператор діє на хвильову функцію як просторова похідна:

Щоб описати релятивістську частинку, потрібно знайти інший гамільтоніан. При цьому є підгрунтя вважати, що оператор імпульсу зберігає щойно наведене визначення. Відповідно до релятивістського співвідношення повну енергію системи можна виразити як

Це приводить до виразу

Це не зовсім задовільне рівняння, оскільки не видно явної лоренц-коваріантності (яка виражає формальне рівноправ'я часу і просторових координат, що є одним з наріжних каменів спеціальної теорії відносності), а крім того — написаний корінь з оператора не виписаний явно. Однак, піднесення до квадрату лівої та правої частин приводить до явно лоренц-коваріантного рівняння Клейна-Гордона. Дірак запропонував, що поскільки права частина рівняння містить першу похідну по часу, то і ліва частина повинна мати тільки похідні першого порядку по просторових координатах (інакше кажучи — оператори імпульсу в першій степені). Тоді, приймаючи, що коефіцієнти перед похідними, яку б природу вони не мали, — постійні (внаслідок однорідності простору), залишається тільки записати:

— це і є рівняння Дірака (для вільної частинки).

Однак, коефіцієнти ще не визначені. Якщо припущення Дірака правильне, то права частина, піднесена до квадрату, повинна дати

тобто

Розкриваючи дужки в лівій частині отриманого рівняння, можна знайти умови на α:

для всіх

для всіх

або, скорочено записавши все разом:

для

або, ще коротше, користуючись фігурними дужками для позначення антикомутаторів:

для

де {,} — антикомутатор, що визначається як {A,B}≡AB+BA,і δij — символ Кронекера, який приймає значення 1 якщо два індекси рівні, а в протилежному випадку - 0. Див.алгебра Кліфорда.

Поскільки такі співвідношення не можуть виконуватись для звичайних чисел (адже числа комутують, а α — ні), залишається припустити, що α — це деякі лінійні оператори або матриці (тоді одиниці й нулі в правій частині співвідношень можна вважати відповідно одиничним і нульовим оператором або матрицею) і можна намагатися знайти конкретний набір α, скориставшись даними співвідношеннями (і це вдається).

Стає зрозуміло, що хвильова функція повинна бути не однокомпонентною (тобто не скалярною), а векторною, маючи на увазі вектори якогось абстрактного «внутрішнього» простору, не пов'язаного прямо зі звичайним фізичним простором або простором-часом.

Матриці повинні бути ермітові, так щоб гамільтоніан теж був ермітовим оператором. Найменьша розмірність матриць, що задовольняють вказаним критеріям, чотири, тобто це комплексні матриці 4×4, хоча конкретний вибір матриць (або представлення) не є однозначним. Ці матриці утворюють групу, в якій групова операція - матричне множення. Хоча вибір представлення цієї групи не впливає на властивості рівняння Дірака, він впливає на фізичний зміст компонент хвильової функції. Хвильова функція в такому разі повинна бути чотиривимірним комплексним абстрактним (не пов'язаним прямо з векторами звичайного простору-часу) біспінорним полем.

У вступі було наведено представлення, яке використовував Дірак. Це представлення можна правильно записати як

де 0 і I — 2×2 нульова і одинична матриці відповідно, і σj (j = 1, 2, 3) — матриці Паулі, що є матричним представленням кватерніонів, про які давно відомо, що вони антикомутують.

Гамільтоніан в цьому рівняння

назавається гамільтоніаном Дірака.

Для звичайного рівняння Дірака в двовимірному просторі або в тривимірному, але з m=0, замість альфа-матриць достатньо лише матриць Паулі; замість чотирикомпонентного біспінорного поля при цьому роль хвильової функції буде виконувати двокомпонентне спінорне.

Коваріантний запис рівняння Дірака для вільної частинки має такий вигляд:

або, використовуючи правило Ейнштейна сумування по індексах, що повторюються, так:

Пояснення[ред. • ред. код]

Часто корисно буває користуватись рівнянням Дірака в релятивістсько-коваріантній формі, в якій просторові та часові координати формально рівноправні.

Оператор імпульсу діє як просторова похідна:

Множачи рівняння Дірака з кожного боку на α0 (згадуючи що α0²=I) і підставляючи його у визначення для , рівняння Дірака набирає вигляду

Чотири гамма матриці визначаються як:

Ці матриці мають властивісь, що

де η метрика плоского простору. Ці співвідношення визначають алгебру Кліфорда, що називається алгеброю Дірака.

Рівняння Дірака тепер можна записати, використовуючи чотири-вектор x = (ct,x), як

У цій формі рівняння Дірака можна отримати з допомогою знаходження екстремуму дії

де

називається приєднаною матрицею Дірака для ψ. Це основа для використання рівняння Дірака в квантовій теорії поля.

В цій формі електромагнітну взаємодію можна просто додати розширивши частинну похідну до калібрувальної похідної:

Є п'ять різних (нейтральних) діраковських білінійних форм без похідних:

(S) скаляр: (скаляр, P-парний)

(P) псевдоскаляр: (скаляр, P-непарний)

(V) Вектор: (вектор, P-парний)

(A) аксіальний вектор: (вектор, P-непарний)

(T) тензор: (антисиметричний тензор)

де і .

Характерною особливістю рівняння Дірака є те, що для вільної частинки воно має 4 розв'язки, які інтерпретуються як

електрон зі спіном 1/2;

електрон зі спіном -1/2;

позитрон зі спіном 1/2;

позитрон зі спіном -1/2;

Позитрон — елементарна частинка, античастинка електрона. Відноситься до антиматерії.

Позначається e+.

Має одинакові з електроном характеристики, за винятком того, що електричний заряд позитрона додатній.

Позитрон належить до лептонів і бере участь у електромагнітній, слабкій і гравітаційній взаємодіях.

Як частка зі спіном 1/2 позитрон належить до ферміонів.

Позитрон може утворитися при бета плюс розпаді ядра, при якому один із протонів перетворюється в нейтрон. Високоенергетичний гамма-квант може породити електрон-позитронну пару.

При зіткненні дві античастинки: позитрон і електрон анігілюють, породжуючи два гамма-кванти.