Ускорение точки. Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения величины и направления скорости.
Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения величины и направления скорости.
Ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения.
Рассматривается движение точки на плоскости в системе отсчёта OXY (рис. 2.9) по заданным уравнениям движения X = f1(t); Y = f2(t).
Согласно рис. 2.9 запишем векторное равенство
а = аОХ +aOY = i· 
+ j· 
,
где а – ускорение точки; аОХ, aOYкомпоненты ускорения по координатным осям; , – проекции ускорения на координатные оси.
Здесь две точки (··) означает символ двойного дифференцирования функции по времени.
Распространяя полученный результат на пространство (система отсчёта OXYZ), получим
а = аОХ + aOY + aOZ=i· + j· + j· 
.
Как правило, проекции ускорения а на координатные оси в технической литературе обозначаются так: , , .
Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих уравнений движения или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.
= d2X/dt2 = 
;
= d2Y/dt2 = 
;
= d2Z/dt2 = 
.
Модуль ускорения находится по следующим формулам:
a = 
(точка движется в пространстве);
a = 
(точка движется в плоскости);
a = | 
|(точка движется по прямой линии).
Направляющие косинусы находятся по следующим формулам:
cos(a, i) = / a; cos(a, j) = / a; cos(a, k) = / a.
Зная направляющие косинусы, вектор ускорения а ориентируют в пространстве.
Рассматривается движение точки по прямой линии согласно заданному уравнению движения X = f(t) (рис. 2.10).
 |
При таком движении справедливо равенство а = аОХ =i· . На рис. 2.10 дополнительно показано ускорение а0–начальное ускорение точки при t0 = 0.
Примечания:
1. Если проекции ускорения на координатные оси положительны ( > 0, 
> 0, 
> 0), то компоненты ускорения по координатным осям (аОХ, aOY, aOZ) направлены в те же стороны, что и единичные векторы (I, j, k) системы отсчёта OXYZ.
2. Если проекции ускорения на координатные оси отрицательны ( < 0, < 0, < 0), то компоненты ускорения по координатным осям (аОХ, aOY, aOZ)направлены в стороны, противоположные ортам (I,j,k)системы отсчёта OXYZ.
Рассмотрим более подробно движение точки на координатной оси ОХ (рис. 2.10) по заданному уравнению движения X = f(t).
Если проекция 
скорости V и проекция ускорения а точки совпадают по знаку, то точка движется ускоренно. При > 0 и >0 точка движется в сторону увеличения координаты Х ускоренно. Если < 0 и < 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х ускоренно. Если > 0 и < 0, то точка движется в сторону увеличения координаты замедленно. Если < 0 и > 0, то точка движется в сторону уменьшения координаты Х замедленно.
Если проекция ускорения на ось ОХ постоянна ( = const), то такое движение называют равнопеременным. При условии, что = const ≠ 0, уравнение равнопеременного движения точки записывают в виде
X = X0 + 0·t + ( ·t2)/2,
где X0 – значение координаты точки в начальный момент времени; 0 - проекция начальной скорости V0 на координатную ось ОХ в начальный момент времени.
Если = const > 0, то такое движение называют равноускоренным.
Если = const < 0, то движение точки называют равнозамедленным.
Если = 0, то такое движение называют равномерным. Уравнение равномерного движения имеет вид X = X0 + ·t.
При условии, что = f(t) ≠ const, для получения уравнения движения выражение = f(t) необходимо дважды проинтегрировать.
Пусть, например, = 2·t. Представим это выражение в виде d /dt = 2·t. Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении d = 2·t·dt. Первый интеграл от этого выражения имеет вид = 2·(t2/2) + C1 = t2 + C1, где С1 – постоянная интегрирования, которую находят по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 проекция начальной скорости V0 на ось ОХ не равна нулю: 0 ≠ 0. Тогда при t0 имеем 0 = (t0)2 + C1. Откуда С1 = 0. Внося значение постоянной С1 в выражение, полученное при первом интегрировании, имеем = t2 + 0. Так как = dX/dt, то после разделения переменных имеем следующее дифференциальное уравнение движения dX = t2·dt + 0·dt. Интегрируя это уравнение, получим X = t3/3 + 0·t + C2, где С2 – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям движения. Пусть при t0 = 0 координата Х0 ≠ 0. Тогда X0 = (t0)3/3 + 0·t0 + C2 или С2 = Х0. Окончательно имеем уравнение прямолинейного движения
X = (t)3/3 + 0·t + Xo.
Таким образом, если заданы уравнения движения точки в координатной форме, то можно в любой момент времени определить следующие кинематические характеристики:
1) траекторию движения;
2) положение точки на траектории движения;
3) проекции скорости на координатные оси, а, следовательно, и модуль скорости;
4) ориентацию вектора скорости в системе отсчёта по её направляющим косинусам;
5) проекции ускорения на координатные оси и модуль ускорения;
6) положение вектора ускорения в системе отсчёта по его направляющим косинусам.
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 958;