Координатный способ задания движения точки
Рассматривается движение точки М в неподвижной системе отсчёта OXYZ (рис. 2.1). Единичные векторы (орты) i, j, k показывают положительные направления отсчёта координат X, Y, Z. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, которую называют траекторией движения точки. По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Положение точки М в неподвижной системе отсчёта (НСО) определяется тремя координатами X, Y, Z. При движении точки М её координаты изменяются с течением времени. Следовательно, коорди 
наты X, Y, Z движущейся точки М являются функциями времени t.
Систему трёх уравнений X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) называют уравнениями движения точки в пространстве в декартовых координатах.
Пример: X = 10·t2 + 1; Y = 7·t3 + t2 + 1; Z = 10·sin(p·t). Действительно, имея эти уравнения, можно для любого момента времени найти значения соответствующих координат X, Y, Z и по ним определить положение точки в пространстве в этот момент времени.
Движение точки М на плоскости (рис. 2.2) определяется двумя уравнениями: X = f1(t); Y = f2(t). Эти выражения называют уравнениями движения точки на плоскости в декартовой системе отсчёта.
Пример. Заданы уравнения движения точки в плоскости OXY. X = 3·t2 + t2 + t; Y = 7·cos(p·t).
Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, рассматривают как параметрические уравнения траектории точки. При исключении параметра t из уравнений движения получают уравнение траектории точки в координатной форме (Y = f(t)).
Пример. Заданы уравнения: X = 4·t (см); Y = 16·t2 – 1 (см) движения точки в плоскости OXY. Определить вид траектории движения точки, построить её график и найти положение точки на траектории движения в момент времени t1 = 0,5 с.
Решение. Из уравнения X = 4·t находим t = X/4. Значение времени t подставляем в уравнение Y = 16·t2 – 1. Получаем
Y = 16·(X/4)2 – 1 = X2 – 1.
Выражение Y = X2 – 1 есть уравнение параболы (y= a·x2+b·x+c) с вершиной в точке с координатами (0, – 1). В момент времени t1 = 0,5 с определяем координаты:
X(t1) = 4·t1 = 4·0,5 = 2 см > 0;
Y(t1) = 16·(t1)2 – 1 = 16·(0,5)2 – 1 = 3 см >0.
Показываем положение точки на траектории её движения (рис. 2.3).
Пример. Дано: X = 3·sin(p·t), см (1); Y = 3·cos(p·t), см (2); t1 = 0,25 c. Определить вид траектории движения точки и её положение на траектории движения в момент времени t1.
Решение. Уравнения движения точки представим в следующем виде: (X)2 = (3·sin(p·t))2 (1I); (Y)2 = (3·cos(p·t))2 (2I). Для решения используем тригонометрическую формулу sin2(α) + cos2(α) = 1.
Складывая левые и правые части уравнений (1I) и (2I), получим (X)2 + (Y)2 = 32·(sin2(p·t) + cos2(p·t)) = 32·1 или (X)2 + (Y)2 = 32. Известно, что уравнение (X)2 + (Y)2 = R2 есть уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат. Таким образом, точка 
движется по окружности радиусом R = 3 см (рис. 2.4).
Определяем положение точки на траектории движения в момент времени t1.
X(t1) = 3·sin(p·t1) = 3·sin(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.
Y(t1) = 3·cos(p·t1) = 3·cos(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.
Показываем точку на траектории её движения (см. рис. 2.4).
ВНИМАНИЕ! Если точка не попадает на траекторию её движения, то:
1) неверно определен вид траектории движения;
2) неверно рассчитаны значения координат X(t1), Y(t1).
Прямолинейное движение точки М определяется одним уравнением движения X = f(t).
Пример. Дано: X = 10·t2 + sin(2·p·t) + 3, см (рис. 2.5).
Определить положение точки на траектории движения в начальный момент времени t0 = 0 и в момент времени t1 = 1 c.
Решение.
X(t0) = 10·(t0)2 + sin(2·p·t0) + 3 = 10·02 + sin(2·p·0) + 3 = 3 см > 0.
X(t1) = 10·(t1)2 + sin(2·p·t1) + 3 = 10·12 + sin(2·p·1) + 3 = 13 см > 0.
Значения координат X(t0), X(t1) наносим на рис. 2.5.
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 1947;