Сцепление и трение скольжения
Рассмотрим равновесие тела лежащего на горизонтальной шероховатой поверхности OXY (рис. 1.73).
На тело действуют сила тяжести G и нормальная реакция N этой поверхности. Нетрудно видеть, что: G = – N; G = N. При этом реакция N перпендикулярна опорной поверхности OXY.
Если к телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности приложить горизонтальную силу S , то действие этой силы вызовет отклонение реакции R от нормали к этой поверхности на угол φss (рис. 1.74).
Угол φSS называют углом сцепления. Реакцию R шероховатой поверхности раскладывают на горизонтальную Fss и вертикальную N составляющие.
R = Fss + N,
где Fss – сила сцепления; N – нормальная реакция.
Сила Fss противодействует смещению тела по шероховатой поверхности.
Модули Fss, N сил Fss, N связаны соотношением
Fss = tg(φss)·N.
Как правило, в технических расчётах используют понятие коэффициент сцепления fss = tg(φss). Тогда имеем
Fss = fss·N.
Из условия равновесия тела на шероховатой поверхности получим Fss = S.
Благодаря сцеплению тело остается в покое при изменении модуля силы S от нуля до некоторого значения Smax. При значении Smax тело начинает двигаться по шероховатой поверхности. В инженерной практике говорят, что тело в этот момент времени находится в состоянии предельного равновесия.
Угол φss сцепления, а следовательно, и коэффициент сцепления зависят от материала и физического состояния соприкасающихся тел и определяется экспериментально при предельном равновесии тела на шероховатой поверхности. В справочной литературе коэффициент сцепления φss имеет максимальное значение. Его величина для материалов, используемых в технике, обычно меньше единицы. Зачастую в технической литературе коэффициент fss называют коэффициентом трения в покое.
Так как максимальное значение силы сцепления Fssmax равно fss·N, то модуль силы сцепления всегда удовлетворяет условию
Fss ≤ fss·N.
Направление силы сцепления противоположно направлению того движения, которое возникло бы под действием приложенных к телу сил при отсутствии сцепления.
При скольжении тела по шероховатой поверхности её реакция отклоняется от нормали на угол φtr ( рис. 1.75), который называют углом трения.
Как правило, реакцию шероховатой поверхности раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие.
R = Ftr + N,
где Ftr – сила трения скольжения; N – нормальная реакция.
Сила Ftr противодействует перемещению тела по шероховатой поверхности, поэтому её направление противоположно направлению скорости VC. Модуль Ftr силы трения скольжения Ftr пропорционален модулю N нормальной реакции N.
Ftr = tg(φtr)·N = ftr·N,
где ftr = tg(φtr) – коэффициент трения скольжения.
Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, а также от скорости движения тела и удельного давления. Однако в элементарных расчётах зависимость коэффициента трения скольжения от скорости и удельного давления часто не учитывается. Экспериментально установлено, что ftr < fss.
Величины коэффициентов трения скольжения определяются опытным путем и приводятся в справочной литературе.
Следует отметить, что силы Fss, Ftr относятся к разряду внешних сил, так как они являются реакциями связей.
Так как в справочной литературе приведены максимальные значения коэффициентов fss, то их применяют при решении задач статики, когда механическая система находится в состоянии предельного равновесия.
Таким образом, при решении задач статики предельного состояния механической системы к уравнениям равновесия добавляют уравнение: Fss = fss·N.
В частности, для плоской произвольной системы сил имеем:
Σ + Σ = 0; (1)
Σ + Σ = 0; (2)
Σ MA(FiE) + Σ MA(RiE) = 0; (3)
Fss = fss·N. (4)
где Σ , Σ – соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ , Σ – суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ MA(FiE) – сумма алгебраических моментов активных сил FiE относительно точки А; Σ MA(RiE) – сумма алгебраических моментов реакций RiE внешних связей относительно точки А.
Выполнение курсовых заданий на сцепление и трение скольжения для заочной и дистанционной форм обучения не предусмотрено. Однако задачи такого типа включены в дидактические единицы интернет-экзамена. Рассмотрим один из примеров решения задачи на предельное равновесие механической системы.
Пример.
Тело весом G = 20 Н удерживается в равновесии на шероховатой наклонной поверхности с углом наклона α = 30о силой S. Коэффициент сцепления fss = 0,3 (рис. 1.76).
Определить минимальное Smin значение силы Smin для перемещения тела вверх по наклонной плоскости.
Решение.
Приложим к телу активные силы G , Smin и реакции N , Fss шероховатой поверхности (рис. 1.77).
Модули Fss, N сил Fss, N связаны соотношением
Fss = fss·N.
Запишем уравнения предельного равновесия для тела, на которое действует система сил (G , Smin, N, Fss).
Σ + Σ = 0 = G·cos(α) + N = 0; (1)
Σ + Σ = 0 =
= – G·sin(α) + Smin – Fss = 0; (2)
Fss = fss·N =0. (3)
Из уравнения (1) имеем N = G·cos(α). Тогда Fss = fss·G·cos(α).
Из уравнения (2) определим Smin.
Smin = G·sin(α) + fss·G·cos(α) = G·(sin(α) + fss·cos(α)) =
= 20·(0,5 + 0,3·0,866) = 15,196 H.
Ответ: Smin = 15,196 H.
1.30. Центр тяжести твёрдого тела
В инженерной практике часто требуется определить положение центра тяжести тела или механической системы. Рассмотрим методику решения таких задач.
В теоретической механике тело рассматривают как непрерывную совокупность материальных точек. Если тело находится вблизи земной поверхности, то к каждой материальной точке Ci этого тела приложена её сила тяжести GCi. Эти силы тяжести приближенно образуют систему параллельных сил (линии действия сил тяжести двух материальных точек, находящихся на земной поверхности и отстоящих друг от друга на расстоянии 31 м, образуют угол, равный одной секунде).
Исходя из этого, в технических расчётах принято силы тяжести точек считать системой параллельных сил (рис. 1.78).
На рис. 1.78 использованы следующие обозначения: С – центр тяжести тела; Ci, Ci+n – материальные точки тела; XCi, YCi, ZCi, XCi+n, YCi+n, ZCi+n – координаты материальных точек в системе отсчёта OXYZ; rCi, rCi+n – радиус-векторы материальных точек; rC – радиус-вектор центра тяжести тела; XC, YC, ZC – координаты центра тяжести тела; G – сила тяжести тела; – радиус-вектор i-й точки тела (начало радиус-вектора находится в центре С тяжести тела).
Силу G = Σ GCi прикладывают в точке, которую называют центром тяжести тела. Определим это понятие.
Центр тяжести твёрдого тела – геометрическая точка С, для которой сумма произведений весов GCi всех материальных точек, образующих твёрдое тело, на их радиус-векторы , проведенные из этой точки, равна нулю.
Согласно определению имеем:
= 0,
где G = Σ GCi – вес тела, равный сумме весов GCi материальных точек этого тела.
Радиус-вектор центра С тяжести тела и его координаты определяют по формулам:
;
;
;
.
Рассмотрим механическую систему, находящуюся в однородном поле сил тяжести (рис. 1.79). Под механической системой условимся понимать систему материальных тел, соединенных между собой недеформируемыми связями.
Силу тяжести GC и вес GC механической системы определяют по формулам:
GC = Σ GCi; GC = Σ GCi,
где GCi, GCi – соответственно сила тяжести и вес i-го тела, входящего в механическую систему.
Силу тяжести GC прикладывают в центре С тяжести механической системы. Введем это понятие.
Центр тяжести механической системы – геометрическая точка С, для которой сумма произведений весов GCi всех материальных тел, входящих в механическую систему, на их радиус-векторы , проведённые из этой точки, равна нулю.
Исходя из этого определения, имеем
= 0.
Очевидно, что центр тяжести тела и центр тяжести механической системы определяют по одной методике.
Радиус-вектор rC и координаты XC, YC, ZC центра тяжести механической системы определяют по формулам:
;
;
;
,
где GCi – вес i-го тела механической системы; rCi – радиус-вектор центра тяжести i-го тела; XCi, YCi, ZCi – координаты центра тяжести i-го тела механической системы.
В динамике используют понятие центр масс механической системы. Положения центра тяжести механической системы и её центра масс совпадают. Понятие центр масс механической системы более широкое по сравнению с понятием центр тяжести механической системы. Понятие центр масс применимо для любой системы материальных точек независимо от того, находится ли она под действием каких-либо сил или нет, тогда как понятие центр тяжести применяется лишь для системы тел, находящихся в однородном поле сил тяжести.
Центр тяжести однородного тела, заполняющего некоторый объём, называется центром тяжести объёма. Его координаты находят по формулам:
;
;
,
где VCi – элементарный объём тела; V – полный объём тела; XCi, YCi, ZCi – координаты центра тяжести i-го элементарного объёма тела.
Таким образом, для определения положения центра тяжести однородного тела, находящегося в некотором объёме, этот объём необходимо разбить на элементарные объёмы VCi (куб, параллелепипед, призма и т. д., положения центров тяжести которых приведено в справочной документации).
Однородное тело, имеющее форму тонкой пластинки, рассматривают как материальную плоскую фигуру. Координаты центра тяжести плоской фигуры определяют по формулам:
;
,
где FCi – элементарная площадь плоской фигуры; XCi, YCi – координаты центра тяжести элементарной площади; F – площадь плоской фигуры.
Для определения положения центра тяжести плоской фигуры эту фигуру разбивают на элементарные участки площадью FCi (квадрат, прямоугольник, треугольник и т. д., положения центров тяжестей которых известны).
Аналогичным образом определяют положения центров тяжестей однородных тел, имеющих большую протяженность при сравнительно малой площади поперечного сечения (например, проволока).
;
;
,
где LCi – элементарная длина тела; L – полная длина тела, вытянутого в одну линию; XCi, YCi, ZCi – координаты центра тяжести i-го участка элементарной длины тела.
При определении положения центра тяжести широко используют следующие рекомендации:
1) если однородное тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси;
2) если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости;
3) если плоская фигура или линия имеет ось симметрии, то её центр тяжести лежит на этой оси.
При решении некоторых задач используют методы отрицательных площадей и объёмов. Поясним это примером.
Пример.
Определить положение центра тяжести однородного диска радиусом R с круглым отверстием, радиус которого r = R/2 (рис. 1.80)
Решение.
Заштрихованная фигура имеет ось симметрии, поэтому центр С её тяжести находится на оси ОХ. Отсюда имеем YC = 0. Координату ХС находим по формуле
,
где FCi – элементарная площадь плоской фигуры; XCi – абсцисса центра тяжести элементарной площади; F – площадь плоской фигуры.
Расчленим исходную фигуру на две составные части. Первая фигура – сплошной круг радиусом R. Вторая фигура – круг радиусом r. Для двух тел последняя формула принимает вид
.
Согласно рис. 1.80 имеем:
ХС1 = 0; FC1 = (π·R2)/2; XC2 = R/2; FC2 = – (π·r2)/2.
Следует отметить, что FC1 > 0, а FC2 < 0. При наложении площадей FC1, FC2 друг на друга получим исходную площадь фигуры.
Учитывая, что r = R/2 и произведя вычисления, получим
XC = – R/6.
Следует отметить, что координата ХС центра тяжести отрицательна. Найденное значение ХС покажем на рис. 1.80.
Выполнение курсовых заданий на определение координат центра тяжести тела для студентов заочной и дистанционной форм обучения не предусмотрено. Однако такого типа задачи включены в дидактические единицы интернет-экзамена. Рассмотрим один из примеров решения задачи на определение координат центра тяжести.
Пример.
На рис. 1.81 изображена линия, лежащая в плоскости OXY. Размеры заданы в метрах.
Решение.
Расчленим линию на два участка (рис. 1.82).
Первый участок имеет длину LC1 = 2 м. Координаты центра С1 его тяжести соответственно равны: XC1 = 1 м; YC1 = 0 м. Второй участок имеет длину LC2 = 10 м. Координаты центра С2 тяжести этого участка соответственно равны: XC1 = 2 м; YC1 = 5 м.
Определим координаты центра тяжести линии по формулам:
= = 1,833 м;
= = 4,166 м.
Покажем положение центра С тяжести линии на рис. 1.82.
Таким образом, задача решена, ответы получены.
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 1516;