Пример выполнения курсового задания С 3

В качестве примера, иллюстрирующего порядок расчёта составной конструкции, рассматривается равновесие механической системы, состоящей из двух тел, соединенных между собой внутренним шарниром в точке D (рис. 1.62).

Дано: Р₁ = 2 кН; Р₂ = 4 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м.

Определить реакции внешних связей в точках А, В, С.

Решение.

Распределённая нагрузка интенсивностью q заменяется сосредоточенной силой Q, модуль которой равен:

Q = q·L = 2·4 = 8 кН.

К механической системе, состоящей из тел 1 и 2, приложены активные силы P₁, P₂, Q и активная пара сил с алгебраическим моментом М, а также реакции X_A, Y_A, R_B, R_c внешних связей. Так как система сил, действующих на совокупность тел 1 и 2 плоская произвольная, то составляются три уравнения равновесия.

Σ + Σ = 0 =

= P₁·cos(60^о) + P₂·sin(45^о) + X_A – R_B·sin(45^о) – R_c·sin(45^о) = 0; (1)

Σ + Σ = 0 =

= – Q – P₁·sin(60^о) – P₂·cos(45^о) + Y_A +

+ R_B·cos(45^о) + R_c·cos(45^о) = 0; (2)

Σ M_D(F_i^E) + Σ M_D(R_i^E) = 0 =

= Q·6 + P₁·sin(60^о)·2 + P₂·3 – М – Y_A·8 – R_B·6 + R_C·6 = 0. (3)

Так как имеются три уравнения равновесия, в которые входят четыре неизвестные реакции X_A, Y_A, R_B, R_C, то такая система уравнений не решается. Поэтому конструкцию расчленяют по внутренней связи в точке D и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности.

На рис. 1.63 изображено тело 1, которое находится в покое под действием активных сил Q, P₁, реакций внешних связей X_A, Y_A и реакций внутренних связей X_D, Y_D.

Следует отметить, что для тела 1 силы Q, P₁, X_A, Y_A, X_D, Y_D являются внешними силами.

Система сил, действующая на тело 1, плоская произвольная, поэтому для неё составляется три уравнения равновесия.

Σ + Σ = 0 =

= 0 = P₁·cos(60^о) + X_A + X_D = 0; (4)

Σ + Σ = 0 =

= – Q – P₁·sin(60^о) + Y_A + Y_D = 0; (5)

Σ M_D(F_i^E) + Σ M_D(R_i^E) = 0 =

= Q·6 + P₁·sin(60^о)·2 – Y_A·8 = 0. (6)

На рис. 1.63 реакции X_D, Y_D внутренней связи показывают, как тело 2 действует на тело 1 в точке D.

Рассматривается равновесие тела 2, на которое действуют активная сила Р₂, активная пара сил с алгебраическим моментом М, реакции R_B, R_C внешних связей в точках В и С и реакции X_D^I, Y_D^I внутренней связи в точке D (рис. 1.64).

Реакции X_D^I, Y_D^I показывают, как тело 1 действует на тело 2 в точке D. По аксиоме равенства действия и противодействия эти реакции направлены противоположно одноименным реакциям, показанным на рис. 1.63.

X_D = – X_D^I; Y_D = – Y_D^I; X_D = X_D^I; Y_D = Y_D^I.

По отношению к телу 2 активные нагрузки Р, М и реакции R_B, R_C, X_D^I, Y_D^I являются внешними нагрузками.

Таким образом, на тело 2 действует плоская произвольная система сил, поэтому составляют три уравнения равновесия. С целью сокращения формы записи уравнений равновесия использована система отсчёта OXY, одна из осей которой направлена вдоль стержня ВС.

Σ + Σ = 0 =

= – X_D^I·cos(45^о) – Y_D^I·cos(45^о) = 0; (7)

Σ + Σ = 0 =

= – P₂ + R_B + X_D^I·sin(45^о) – Y_D^I·sin(45^о) + R_c = 0; (8)

Σ M_D(F_i^E) + Σ M_D(R_i^E) = 0 =

= P₂·3 – M – R_B·6 + R_C·6 = 0. (9)

Таким образом, по рис. 1.62, 1.63, 1.64 составлено девять уравнений равновесия, в которые вошли шесть неизвестных реакций. С целью сокращения времени расчёта целесообразно использовать уравнения равновесия, составленные для тел 1 и 2 механической системы.

Из уравнения (6) определяется проекция реакции Y_A на координатную ось OY:

Y_A = (Q·6 + P₁·sin(60^о)·2)/8 = (8·6 + 2·0,866·2)/8 = 6,433 кН.

Из уравнения (5) имеем

Y_D = – Y_A + Q + P₁·sin(60^о) = – 6,433 + 8 + 2·0,866 = 3,299 кН.

Из уравнения (7) определяется проекция реакции X_D внутренней связи в точке D на координатную ось ОХ:

X_D = X_D^I = – Y_D = – 3,299 кН.

Из уравнения (4) определяется проекция реакции X_A на ось ОХ:

X_A = – P₁·cos(60^о) – X_D = – 2·0,5 – (–3,299) = 2,299 кН.

С учётом выражения (7) уравнения (8) и (9) несложно преобразовать в систему уравнений (8^I), (9^I):

R_B – P₂ + 2·X_D·cos(45^о) + R_C = 0; (8^I)

– R_B + P₂·(3/6) – (M/6) + R_C = 0. (9^I)

Складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение

– 0,5·P₂ – (M/6) + 2·X_D·cos(45^о) + 2·R_C = 0. (10)

Из уравнения (10) находим модуль реакции R_C:

R_C = (0,5·P₂ + (M/6) – 2·X_D·cos(45^о))/2 =

= (0,5·4 + (6/6) – 2·(– 2,299)·0,707)/2 = 3,832 кН.

Возвращаясь к уравнению (9^I), находим модуль реакции R_B:

R_B = P₂·(3/6) – (M/6) + R_C = 4·(3/6) – (6/6) + 3,832 = 4, 832 кН.

Таким образом, при совместном решении уравнений (4) – (9) определяются реакции X_A, Y_A, R_B, R_C внешних связей в точках А, В, С и реакции X_D, Y_D, X_D^I, Y_D^I внутренней связи механической системы в точке D.

Для проверки полученных результатов расчётов используются уравнения (1), (2), (3):

Σ + Σ = 0 =

= P₁·cos(60^о) + P₂·sin(45^о) + X_A – R_B·sin(45^о) – R_c·sin(45^о) = 0 =

= 2·0,5 + 4·0,707 + 2,299 – 4,832·0,707 – 3,832·0,707 = 0; (1)

Σ + Σ = 0 =

= – Q – P₁·sin(60^о) – P₂·cos(45^о) + Y_A +

+ R_B·cos(45^о) + R_c·cos(45^о) = 0 =

= – 8 – 2·0,866 – 4·0,707 + 6,433 +

+ 4,832·0,707 + 3,832·0,707 = 0; (2)

Σ M_D(F_i^E) + Σ M_D(R_i^E) = 0 =

= Q·6 + P₁·sin(60^о)·2 + P₂·3 – М – Y_A·8 – R_B·6 + R_C·6 = 0 =

= 8·6 + 2·0,866·2 + 4·3 – 6 – 6,433·8 – 4,832·6 + 3,832·6 = 0. (3)

Проверка показала, что расчёты проведены правильно.

Результаты проведенных расчётов помещают в таблицу.

Таблица

Таким образом, если необходимо определить реакции внешних связей для составной конструкции, то следует расчленить конструкцию по внутренней связи и рассмотреть равновесие каждого тела.

Для решения некоторых задач на составную конструкцию может быть использована теорема о равновесии трёх непараллельных сил.

Теорема. Линии действия трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

Дано. На тело 1 действует активная сила F. Тело 2 загружено только по его концам В и D. Исходя из этого, тело 2 можно считать невесомым стержнем.

Определить реакции внешних связей.

Решение. На механическую систему, состоящую из двух тел, действуют три взаимно уравновешивающиеся внешние силы: активная сила F и реакции R_A, R_B в шарнирно-неподвижных опорах А и В. Так как тело 2 является невесомым стержнем, то линия действия реакции R_B проходит по стержню 2. Линии действия силы F и реакции R_B пересекаются в точке C. Так как три силы F, R_A и R_B не параллельны и лежат в одной плоскости, то линия действия реакции R_A тоже должна проходить через точку C.

Система сил (F, R_A, R_B) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут (см. рис. 1.65). Для определения величин реакций используется теорема синусов:

F/sin(α+β) = R_B/sin(α) = R_A/sin(β).

Величина угла α находится из рис. 1.65 по формулам:

tg(α)= 2/6 = 0,333; α = arctg(0,333) = 18,434^o.

Величина угла β = 45^o. Это так же видно из рис. 1.65. Окончательно находим:

R_A = = = 31,633 кН;

R_В = = = 14,138 кН.

Действительное направление реакций R_A и R_B показано на силовом треугольнике.

Эту задачу можно решить и по изложенному ранее алгоритму. Однако такое решение требует больших расчётных работ.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение понятия «статически определимые задачи».

2. Сформулировать определение понятия«статически неопределимые задачи».

3. Записать алгоритм решения задач статики для составных конструкций.

4. Сформулировать теорему о трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил.