Гироскопический момент

При изменении положения оси гироскопа (рис. 7.8) формируется гироскопический момент относительно точки О, который определяют по формуле

= J_O1Z1· × ,

где J_O1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси O₁Z₁; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси O₁Z₁; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси прецессии OZ.

На рис. 7.8 оси OZ, O₁Z₁ расположены в плоскости OYZ. Согласно правилу векторного произведения вектор одновременно перпендикулярен векторам , и направлен в сторону, откуда виден поворот вектора к вектору , происходящий против хода часовой стрелки. Исходя из этого правила, вектор лежит на оси ОХ и направлен в сторону увеличения координаты Х. Модуль гироскопического момента определяют по формуле

= J_O1Z1·I I·I I = J_O1Z1·ω·ω₁·sin(θ),

где ω = I I, ω₁ = I I – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

Гироскопический момент стремится совместить ось гироскопа с осью прецессии.

Рассмотрим быстрое вращение тела 1 с угловой скоростью в рамке 2, которая вращается относительно угловой оси OY с угловой скоростью (рис. 7.9).

При этом выполняется неравенство I I >> I I. По отношению к рамке 2 цилиндрические шарниры в точках А и В являются внешними связями. В этих связях формируются гироскопические (динамические) реакции R_A, R_B, противодействующие моменту . Реакции R_A, R_B образуют пару сил, алгебраический момент M^Sopr которой равен

M^Sopr = R_A·h.

Вектор M^Sopr момента реакций опор А и В и его модуль M^Sopr можно также определять по формулам:

M^Sopr = – = × J_OХ· ·= – J_OХ· × ;

M^Sopr = J_OХ·ω·ω₁·= – J_OХ·I I×I I.

Задачи на определение гироскопических реакций опор рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости собственного вращения гироскопа и его кинетического момента L_O = J_OХ· .

2. Определить и изобразить на рисунке вектор угловой скорости прецессии оси гироскопа.

3. Найти гироскопический момент и его модуль по формулам: = J_O1Z1· × ; = J_O1Z1·I I·I I = J_O1Z1·ω·ω₁·sin(θ),

где ω = I I, ω₁ = I I – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

4. Определить вектор M^Sopr момента реакций опор А и В и его модуль M^Sopr по формулам:

M^Sopr = – = × J_OХ· ·= – J_OХ· × ;

M^Sopr = J_OХ·ω·ω₁·= – J_OХ·I I×I I.

5. Определить модуль реакции одной из опор гироскопа по формуле R_A = J_OХ·ω·ω₁/h.

УДАР