Формула Эйлера для критической силы

Обратимся к шарнирно опертому стержню, на который действует сжимающая сила, достигая критического значения (рис. 13.3). Допускаем отклоненное состояние в плоскости наименьшей жесткости. При однородном материале поперечные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение.

Рис. 13.3

Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

EI_min(d²v/dx²) = M.

Величина момента определяется по формуле

M = – F_crv.

Минус введен для согласования знаков M и v. Таким образом,

EI_min(d²v/dx²) = – F_crv,

или

(d²v/dx²) + α²v = 0,

где α²= F_cr /(EI_min).

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

v = A cosαx +B sinαx,

где А и В – постоянные интегрирования, для определения которых используются граничные условия: 1) при x = 0, v = 0; 2) при x = l, v = 0.

Из первого условия получаем А = 0. Следовательно, v = Bsin αx. Из второго условия получаем B sinαl = 0. Следовательно, sinαl = 0. Из ряда значений αl = 0,π, 2π,…, nπ, где n – любое целое число, выбираем значение π, дающее наименьшую критическую силу.

Принимая αl = π, α²l² = π², α² =π²/ l²,находим:

F_cr = (π²EI_min)/l².

Эту формулу впервые вывел Л. Эйлер в 1744 г.

Постоянная В остается неопределенной вследствие принятия приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси бруса.

Влияние способа закрепления концов стержня