Витікання рідини з отвору. Формула Торічеллі

Розглянемо витікання ідеальної рідини з невеликого отвору в боковій стінці (рис.8.14). В отворі знаходиться трубка, яка спрямовує рідину, що витікає, в горизонтальному напрямку. Лінії струму в рідині будуть починатися на вільній поверхні рідини і закінчуватися у вихідному отворі. На рис.8.14, як приклад, зображена одна трубка струму. За теоремою неперервності: , де – площі отвору та вільної поверхні, а – відповідно швидкості рідини в цих площинах. Якщо , то швидкістю можна знехтувати в порівнянні з , тобто вважати її рівною нулеві . Рівняння Бернуллі в такому випадку набуде вигляду:

,

або

.

Це формула Торічеллі. Вона показує, що при витіканні з отвору рідина отримує таку саму швидкість, яку б отримало тіло, яке вільно падає з висоти . Якщо на отворі, з якого витікає рідина, закріпити гнучку трубку і спрямувати потік рідини догори, то струмінь рідини повинен піднятись знову на висоту , тобто у найвищій точці своєї траєкторії вона сягне рівня рідини в посудині. В реальності висота підйому буде трошки меншою внаслідок тертя і опору повітря, які при виведенні формули Торічеллі не враховувалися.

Слід відзначити, що швидкість змінюється з часом, оскільки рівень рідини в посудині поступово зменшується внаслідок її витікання. Нехай за нескінченно малий проміжок часу рівень рідини зменшується на . Із врахуванням теореми неперервності і формули Торічеллі отримаємо:

,

або після відповідного інтегрування:

.

Таким чином, рівень води в посудині зменшується з часом:

,

де – рівень води в посудині в початковий момент часу . Очевидно, що отримане рівняння справедливе для інтервалу часу , де – час, за який рівень води в посудині зменшиться до .

Швидкість витікання рідини з отвору не змінюється з часом в посудині Маріотта. Він являє собою посудину з герметичною верхньою пробкою, в яку вставлена трубка, що сполучена з атмосферою (рис.8.15). Швидкість витікання рідини визначається формулою Торічеллі , де – висота нижнього отвору трубки над вихідним отвором посудини. Швидкість не змінюється з часом тому, що при витіканні рідини з повністю заповненої посудини тиск під пробкою буде меншим атмосферного, повітря буде затягуватись в посудину через трубку. В результаті, тиск в горизонтальній площині, що збігається з нижнім краєм трубки, дорівнює атмосферному. Якщо трубка знаходиться нижче отвору, то рідина витікати не буде (наприклад, з отвору 2 на рис.8.15).