На критическую силу

На рис. 13.4 показаны другие случаи закрепления концов стержня. Каждую из этих задач можно решать по плану, реализованному для шарнирно опертого стержня. В то же время решение можно получить путем сопоставления изгиба шарнирно опертого стержня с изгибом стержня при другом закреплении его концов (штриховые линии на рис. 13.4) Обобщенная формула:

содержит так называемый коэффициент приведенной длины μ.

Приведенная (свободная) длина l₀ = μl может быть истолкована как некоторая условная длина однопролетного стержня, критическая сила которого при шарнирном закреплении его концов такая же, как для заданного стержня. Понятие о приведенной длине впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинским в 1892 г.

Рис. 13.4

Исследования показали, что местные ослабления (заклепочные отверстия, уменьшение сечения за счет врубок и т.п.) существенно не влияют на величину критической силы. Поэтому в формулу для F_cr входит момент инерции I_br площади сечения без учета ослабления A_br (брутто). При вычислении критического напряжения также используется A_br:

где – гибкость стержня (радиус инерции берется минимальный).

Вследствие использования линейного физического закона формулы для критической силы справедливы в том случае, когда напряжения σ_cr не превышают предела пропорциональности σ_pr . Из условия σ_cr = σ_pr определяется предельная гибкость λ_lim, при которой формулы еще применимы:

λ_lim

Для стали с σ_pr = 200 МПа и

Е = 2,1·10⁵МПа λ_lim ≈ 100, для чугуна λ_lim ≈ 80, для дерева λ_lim ≈ 110.

При гибкостях λ < λ₁ (для стали Ст.3 λ₁=40) стержни можно рассчитывать на прочность без учёта опасности потери ус-тойчивости (рис. 13.5, зона I). Для этого случая критическими являются напряже-

ния, соответствующие предельным

Рис. 13.5 (σ_cr=σ_y).

Использование формулы Эйлера за пределами её применимости (λ < λ_lim) приводит к завышенному расчётному значению критических напряжений, следовательно к грубым ошибкам, что чревато потерей устойчивости стержня и разрушением конструкции.

При λ < λ_lim формулы становятся неприменимыми. В этом случае используют эмпирическую формулу Тетмайера − Ясинского (рис. 13.5, зона II):

σ_cr = а – bλ ,

где а и b – коэффициенты, зависящие от материала. Для стали Ст.3 при гибкостях λ = 40…100 коэффициенты а и b принимаются равными: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.