Формула Пуассона
При больших значениях числа испытаний применение формулы Бернулли (4.1.2) затруднительно. Поэтому применяются простые, но достаточно точные приближенные формулы для вычисления . Пусть число испытаний достаточно «велико», вероятность «успеха» достаточно «мала». Пусть произведение
(4.2.1)
и не мало, и не велико. В таких случаях удобно использовать для вероятности предложенное Пуассоном приближение (формула Пуассона), которое мы сейчас выведем. По формуле Бернулли (4.1.2)
(4.2.2)
При и сделанных выше допущениях очевидны следующие приближения:
, .
Следовательно, (4.2.2) примет вид:
, (4.2.3)
а это и есть формула Пуассона.
Замечание. При выводе формулы Пуассона (4.2.3) использовалось то, что мало.
Замечание. Формула Пуассона (4.2.3) зависит от и . Значения функции (4.2.2) можно определить следующими способами:
§ можно воспользоваться Приложением 1;
§ используя функцию ПУАССОН(x;среднее;интегральная) из EXCEL; в которой аргумент x равен числу «успехов» , аргумент «среднее» равен , аргумент «интегральная» должен равняться 0;
§ используя функцию dpois(k, l) из MATHCAD, в которой и .
Пример 4. Найти вероятность того, что среди 1460 человек ровно трое родились 29 февраля.
m Решение. Вероятность того, что один конкретный человек родился 29 февраля, равна , т.к. 29 февраля бывает ровно 1 раз в 4 года.
Далее находим коэффициент :
.
Применяя (4.2.2), получаем:
. l
Пример 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность того, что при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов.
m Решение.Рассмотрим два противоположных события:
— при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов;
— при 5000 выстрелах в цель попало менее двух выстрелов.
Найдем вероятность события :
.
В рассматриваемом примере
.
Используя формулу Пуассона, получим
.
Используя свойство вероятности противоположного события, получим
. l
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 926;