ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида: с непрерывными функциями и .
Будем искать общее решение методом И.Бернулли в виде произведения двух новых неизвестных функций: , что дает определенную свободу в выборе одного из множителей, позволяя придать ему необходимый для дальнейшего вид. Тогда . Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:
.
Группируя слагаемые с , получаем: .
Потребуем от функции , чтобы множитель в квадратных скобках при тождественно обращался в нуль:
(10)
Уравнение (10) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение (без произвольной постоянной):
(10) .
Интегрируем обе части:
; ; ;
выбираем в качестве частного решения функцию (здесь символом неопределенного интеграла обозначена какая-либо первообразная функции ) .
Теперь подстановка найденной функции в (10) дает уравнение с разделяющимися переменными относительно :
.
В итоге получаем общее решение:
;
. (11)
Хотя при решении линейного уравнения можно сразу выписывать общий интеграл по формуле (11), представляется полезным проследить на примере всю цепочку выкладок, приводящих к (11).
Пример.Рассмотрим линейное уравнение:
на интервале с начальными условиями .
Здесь . Полагаем:
.
Подставляем в уравнение выражения для и :
.
. (12)
Накладываем на условие: тогда
, и можно выбрать . Подставляем в (12) и учитываем, что, в соответствии с выбором функции , выражение в квадратных скобках тождественно равно нулю:
.
Функция
является общим решением.
Найдем частное решение задачи Коши. Подставим для этого начальные условия в общее решение и найдем соответствующее значение константы :
Подставив найденное значение в общее решение, получаем решение задачи Коши:
.
Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 644;