ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Определение.Однородным уравнением первого порядка называется уравнение, разрешенное относительно производной:
, (9)
в котором функция при всех вещественных удовлетворяет условию:
.
Полагая в этом равенстве , убеждаемся, что правая часть зависит только от отношения переменных : .
Приведем примеры таких функций:
1) ; 2) . Напротив, функция , как легко проверить, не удовлетворяет условию .
Введем новую искомую функцию , так что . Тогда формула для производной произведения дает: , и уравнение (9) принимает вид:
—
уравнение с разделяющимися переменными относительно новой искомой функции . Если для него найден общий интеграл (методом, описанным в предыдущем разделе):
,
то, заменяя в нем на , получим общий интеграл для исходной неизвестной функции :
.
Алгоритм решения однородного уравнения первого порядка:
1. Проверка однородности: .
2. Введение новой искомой функции .
3. Замена в уравнении на , на .
4. Решение полученного уравнения с разделяющимися переменными относительно .
5. Замена в полученном общем интеграле на .
Пример. Решим уравнение . Здесь , так что уравнение, действительно, является однородным. После введения новой переменной получаем уравнение:
.
Заменяя на , получаем общий интеграл для исходной неизвестной функции : .
Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 589;