МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Уравнением с разделенными переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида
, (4)
с непрерывными функциями и
Смысл этого термина заключается в том, что переменные и разделены по разным частям равенства (4).
Напомним, что, согласно определению, дифференциал функции есть произведение производной на дифференциал независимой переменной: . Если умножить обе части равенства (4) на , получим:
. (5)
Это другой, более традиционный способ записи уравнения с разделенными переменными.
Теорема. Если в уравнении (5) функции и имеют первообразные и , то общий интеграл уравнения имеет вид:
, (6)
где — произвольная постоянная.
Замечание. Если для обозначения первообразных использовать символ неопределенного интеграла, то общий интеграл записывается в виде:
. (7)
Доказательство. Опуская доказательство того, что уравнение (6) действительно задает неявную функцию , убедимся, что удовлетворяет уравнению (4). Для этого продифференцируем по равенство (6), применяя для левой части правило производной сложной функции с промежуточной переменной :
,
или, учитывая, что и первообразные для и :
.
Остается убедиться, что за счет выбора значения произвольной постоянной можно обеспечить выполнение любых начальных условий . Подставляя начальные условия в (6), получаем:
. ▄
Примеры. 1. Для уравнения найдем общий интеграл и частный интеграл для начальных условий . Имеем:
—
это общий интеграл.
Подставим теперь в общий интеграл начальные условия и найдем соответствующее значение константы :
.
Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:
.
2. Рассмотрим уравнение с начальными условиями . Умножая обе части уравнения на и затем интегрируя, получаем:
– это общий интеграл. Выражая отсюда явно через и , получаем общее решение: . Подстановка начальных условий в общее решение дает: , так что . Следовательно, функция является решением задачи Коши.
Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называетсядифференциальное уравнение первого порядка вида
, (8)
с непрерывными функциями .
В этом уравнении каждая из частей является произведением двух множителей, один из которых зависит только от , а другой – только от .
От этого уравнения легко перейти к уравнению с разделенными переменными, деля обе части на произведение («разделяя переменные»):
.
Примеры. 1. . Обе части разделим на и умножим на : . Интегрируем:
—
общий интеграл.
2. ; начальные условия: . Записываем производную как отношение дифференциалов:
.
Обе части умножим на , разделим на и проинтегрируем:
—
общий интеграл. Найдем теперь частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям. Подставляя начальные условия в полученное уравнение, имеем:
; .
Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:
.
Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 744;