Примеры групп

1) Аддитивные группы: {0}, Q, R, C, множество Z_k целых чисел, кратных целому заданному k.

2) Мультипликативные: {1}, {1, –1}, {1, i, –1, –i}, множество {zÎC½||z|| = 1}, P₊ – множество вещественных положительных чисел, Q\{0}, R\{0}, C\{0}.

3) Группа симметрий ромба V: {E, S_BD, S_AC, S₀}.

Таблица Кэли:

4) Для заданного равностороннего треугольника АВС рассмотрим преобразования, отображающие треугольник сам на себя:

1. Е – тождественное преобразование.

2. α – поворот на угол 2π/3 против часовой стрелки.

3. β – поворот на угол 4π/3 против часовой стрелки.

4. S₁ – симметрия относительно оси (1) (В С)

5. S₂ – симметрия относительно оси (2) (А С)

6. S₃ – симметрия относительно оси (3) (А В).

Закон композиции зададим таблицей Кэли:

Такой закон композиции ассоциативен, но не коммутативен (например S₁⊙S₂¹S₂⊙S₁. Единичный элемент Е – тождественное преобразование, обратные a^-1 = b; b^-1 = a; .

Множество преобразований самосовмещения треугольника с таким законом композиции называется группой самосовмещений равностороннего треугольника.

Подмножество {E, a, b} этой группы образует подгруппу группы самосовмещений и называется группой поворотов равностороннего треугольника.

5) Перестановкой назовем закон, по которому элементам a, b, c, d, … взаимно однозначно ставятся в соответствие элементы того же множества, но, возможно, в другом порядке .

Композиция двух перестановок f₁⊙f₂ определяется как последовательное применение двух перестановок: сначала f₂, а потом f₁.

Для конечного множества Е из n – элементов перестановки образуют группу (не абелевую!), которая называется симметричной группой S_n.

В частности:

Группа перестановок трех элементов S₃:

Пусть P₁= , P₂ = , P₃ = , P₄ = , P₅ = , P₆ = .

Закон композиции определен таблицей:

Данная группа имеет три подгруппы по два элемента: {P₁, P₂}, {P₁, P₃}, {P₁, P₄} и одну подгруппу из трех элементов: {P₁, P₅, P₆}.

Группу самосовмещений равностороннего треугольника можно представить как группу перестановок трех элементов:

.

6) Рассмотрим множества, состоящие из двух элементов {0, 1} с операцией: 0⊙0 = 0; 0⊙1 = 1; 1⊙0 = 1; 1⊙1 = 1. Единичный элемент здесь 0.

Эта группа называется группой вычетов по модулю 2 и обозначается Z₂.

7) Группа из двух преобразований евклидового пространства: а) тождественное преобразование – 0, б) отражение относительно θ – 1.

От группы Z₂ – отличается лишь природой элементов, групповые свойства одинаковы.