Экстремальные свойства квадратичной формы

Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию f на некоторой гладкой поверхности S. Точка х₀ÎS называется стационарной (критической) точкой, если в x₀ производная f по любому направлению на поверхности S равна нулю.

Мы исследуем вопрос о стационарных (в частности экстремальных) точках и значениях квадратичной формы B(x, x) на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве V и о связи этих значений с собственными векторами и значениями самосопряженного оператора А, такого, что (Ax, y) = B(x, y). При этом единичной сферой в V назовем множество хÎV для которых (x, x) = ||x|| = 1.

Итак: пусть B(x, x) – квадратичная форма, B(x, y) – полярная ей симметричная билинейная форма, A – самосопряженный оператор: B(x, y) = (Ax, y), тогда в базисе из собственных векторов оператора А : здесь λ_k – собственные значения А.

Договоримся, что l₁ ³ l₂ ³ l₃ ³ l₄ ³ … ³ l_n . Заметим, что в выбранном базисе уравнение единичной сферы таково: .

Т°. Стационарные значения квадратичной формы B(x, x) на единичной сфере равны

собственным значениям λ_k оператора А. Эти стационарные значения достигаются на единичных собственных векторах е_k оператора А.

Задача:найти точки экстремума B(x, x) при условии (x, x) = 1. Этo задача на условный экстремум.

◀ Можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа: . Необходимое условие экстремума: и , k = 1, 2, …, n.

Здесь l_k – неопределенные множители Лагранжа.

Решение этой системы: т.е. эти решения – собственные значения и собственные векторы оператора А.

Примечание: Числа λ₁ и λ_n являются собственно наибольшим и наименьшим значением B(x, x) на сфере (x, x) = 1, т.е. , .

Неравенства характеризуют, так называемый, принцип Рэлея. При этом, ,

Для нахождения наибольшего по модулю собственного значения оператора А, можно применить следующую процедуру: . ; ; .