Спектр линейного оператора

Множество всех собственных значений линейного оператора называется его спектром.

Спектр линейного оператора зависит от того каковы корни характеристического многочлена.

17°. В комплексном векторном пространстве Vкаждый линейный оператор А имеет, по крайней мере, хотя бы один собственный вектор и следовательно в Vсуществует, по крайней мере, одно одномерное инвариантное относительно А подпространство.

◀ Справедливость этого следует из «основной теоремы алгебры». ▶

Более того j(l) = 0 в комплексном пространстве V имеет ровно n корней, с учетом их кратности: λ₁, λ₂, …, λ_n.

=

с . С другой стороны

18°.λ₁ + λ₂ + … + λ_n=a₁₁ + a₁₁ + … + a_nn = trA = SpA.

(trace) (Spur)

англ. нем.

◀ Величина a₁₁ + a₁₁ + … + a_nn называется следом матрицы А, но т.к. характеристический полином не зависит от выбора базиса то и SpA не зависит от базиса и называется следом линейного оператора. ▶

19°.Для всякого линейного оператора А в вещественном пространстве размерности n >2 существует одномерное или двухмерное инвариантное подпространство.

◀ Если j(l) = 0 имеет хотя бы один вещественный корень λ₀ то оператор А имеет собственный вектор и, следовательно, одномерное инвариантное относительно А подпространство.

Если j(l) = 0 не имеет вещественных корней, то существует комплексный корень l = a + bi. Решая относительно этого λ систему Az = lz, найдем комплексное решение z = x + iy. Т.е.

A(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = (ax – bу) + i(bx + ay).

Приравнивая, вещественные и мнимые части правой и левой части равенства получим: . Отсюда ясно, что ℒ(x, y) есть подпространство, инвариантное относительно оператора А. ▶

И, наконец, еще два утверждения о спектре линейного оператора.

20°.Если λ₁, λ₂, … , λ_n– все собственные значения оператора А, с учетом их кратностей и f(t)произвольный многочлен, то f(λ₁), f(λ₂), …, f(λ_n) –это все собственные значения оператора f(А), причем кратность f(λ_i) такая же как и кратность λ_і (собственные векторы при это не меняются).

Доказать самостоятельно.

21°. Если Ах = λ₀х и detA ¹ 0, то существует А^–1 и кроме того .

◀ Ах = λ₀х. Действуем оператором А^–1. А^–1Аx = λ₀А^–1 Þ = А^–1x. ▶