Амплитудный и фазовый спектры периодической функции
Пусть f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на [-l;l], и периодична периода 2l, тогда она представима рядом Фурье в комплексной форме
где
с комплексной амплитудой и волновым числом . Тем самым мы представляем f(x) в виде суммы бесконечного множества комплексных гармонических колебаний,
частоты которых образуют бесконечную арифметическую прогрессию с разностью
Амплитуды и фазы гармонических колебаний, отвечающих комплексной гармонике , определяются формулами
Так как аргумент комплексного числа есть функция многозначная, то для вычисления фаз нужно предварительно договариваться о выборе значений
. Можно, например, условиться брать главное значение аргумента, т.е. значение, удовлетворяющее условию
Амплитуды и фазы
гармонических колебаний, в виде суммы которых представляется периодическая функция f(x), играют большую роль в различных прикладных вопросах. Для наглядного представления этих амплитуд и фаз делают следующие построения: возьмем ось частот
и на этой оси отложим частоты
.
Против каждой частоты перпендикулярно к оси
будем откладывать соответствующую амплитуду
.Так как
, то
, т.е. амплитудный спектр симметричен относительно прямой L=0, а так как
→0 при n→∞, то ординаты амплитудного спектра стремятся к нулю по мере удаления от прямой L=0, причем порядок убывания этих ординат не ниже чем
(без доказательства).
Аналогично строится фазовый спектр функции f(x).Для этого против точек оси частот откладываются отрезки длины
(вверх
>0 и вниз
<0).Так как
=
и
, то
, т.е. фазовый спектр симметричен относительно точки L=0.
Пример. В условиях предыдущего примера построить амплитудный и фазовый спектры.
Большое значение при разработке различных летательных аппаратов их двигателей, влияние, распространяемого тепла по поверхности аппаратов и по всей их плоскости имеют исследования Фурье в области теплопроводности.