Связь линейных операторов с матрицами

Пусть А – линейный оператор на V, а базис V. Тогда "хÎV .

= .

Таким образом действие оператора А на "хÎV полностью определяется числами (а_ij) образующими матрицу которая называется матрицей линейного оператора А.

Преобразование, проведенное выше, указывает и способ построения матрицы линейного оператора в заданном базисе. Подействуем линейным оператором на векторы базиса, получившиеся векторы разложим в том же базисе и коэффициенты разложения запишем в соответствующие столбцы матрицы линейного оператора.

1°.В заданном базисе между квадратичными матрицами и линейными операторами существует взаимно однозначное соответствие.

Пример. Найти матрицу линейного оператора в пространстве функций вида {Acos(t + a)} в базисе e₁ = cost, e₂ = sint.

Подействуем оператором А на е_i , полученный вектор разложим в базисе {cost, sint} и координаты этого вектора запишем в i-й столбец: . Тогда . Это и есть матрица линейного оператора .

В самом деле: (3cos(t + 5))¢ = ?

3cos(t+ 5) = 3cos5cost – 3sin5sint = 3cos5e₁ – 3sin5e₂.

Тогда .

у = –3sin5e₁ – 3cos5e₂ = –3sin5cost – 3cos5sint = –3sin(t+ 5).