Связь нормированных и метрических пространств

7°. Нормированное пространство легко превратить в метрическое, вводя r(х, у) = ||х – у||. В самом деле:

◀ А) r(х, у) = ||х – у|| = ||(–1)(у – х) || = |–1| ||у – х|| = ||у – х|| = |–1| ||у – х|| = ||y – x|| = r(y, x);

В) r(х, у) = ||х – у|| ≥0, причем ||х – у|| = 0 Û x – y = θ Û x = y;

С) r(х, у) = ||х – у|| = ||(x – z) + (z – y)|| ≤ ||x – z|| + ||z – y|| = r(х, z) + r(z, у). ▶

Отметим что ||х|| = r(х, θ).

Обратим внимание, что метрика в линейном пространстве обладает свойствами:

А) r(х + z, у + z) = r(х, у) – расстояние не меняется при сдвиге;

В) r(λх, λу)= |λ|r(х, у) – расстояние есть абсолютно однородная функция. (**)

8°. Если в метрическом линейном пространстве Х метрика удовлетворяет двум последним (**) требованиям, то Х можно превратить в нормированное пространство, вводя ||х|| = r(х, θ).

◀ А) ||х|| = r(х, θ) ≥0; ||х|| = r(х, θ) = 0 Û x = θ;

В) ||λх|| = r( λх, θ) = r(λх, λθ) = |λ|r(х, θ) = |λ| ||х||;

С) ||х – у|| = r(х + y, θ) = r(х + y – y, θ – y) = r(х,– y) ≤ r(х, θ) + r(θ,–y) =

= r(х, θ) + |–1|r(y, θ) = ||х|| + ||у||. ▶

9°. Линейное пространство со скалярным произведением является нормированным (||х|| = ) и метрическим (r(х + y) = ||х – у||) пространством. ◀ ▶