НормИРОBАНные пространства

Сосредоточив внимание на таком свойстве множества, как наличие в нем расстояния приходим к понятию метрического пространства.

Сосредоточив внимание на операциях в множестве приходим к понятию линейного пространства.

Если каждое расстояние никак ни связанно с операциями над элементами, то представляется весьма затруднительным построить содержательную теорию части которой соединяли бы вместе алгебраические и метрические понятия.

Поэтому мы будем на метрику, введенную в линейном пространстве накладывать дополнительные условия.

Вещественное или комплексное линейное пространство Х называется нормированным пространством, если для любого хÎХ существует вещественное число ||х|| называемое нормой вектора х такое, что выполняются следующие аксиомы (аксиомы нормы):

А) ||х|| ≥ 0 причем ||х|| = 0 Û х = θ (положительность нормы);

В) ||λх|| = |λ| ||х|| (абсолютная однородность нормы);

С) ||х + у|| ≤ ||х|| + ||у|| (неравенство треугольника).

Примеры норм. Если вектор х в некотором базисе имеет координаты х = (х₁, х₂, … , х_n), то: a) ||х||_l = ; b) ||х||₂ = ; g) ||х||_p = ; d) ||х|| = . Норма b) называется евклидовой нормой.