Решение. Так как дополнительные краевые условия аналогичны предыдущему примеру, вновь имеем , но, учитывая, что составим систему (56):

Так как дополнительные краевые условия аналогичны предыдущему примеру, вновь имеем , но, учитывая, что составим систему (56):

Решение этой системы будет

Значения коэффициентов , :

Таким образом, можно считать сплайн-интерполяцию построенной в виде

Для нахождения значения интерполирующей функции в заданной точке заметим, что , и поэтому используем многочлен : .

Рис. 3 График функции (сплошная кривая) и интерполирующий ее сплайн (пунктирная кривая).

Сравнивая примеры 7 и 8 обратим внимание на следующее: погрешность в последнем явно меньше. Связано это в первую очередь с тем, что интервал выбран в два раза меньше. Можно показать, для случая равноотстоящих узлов

где - промежуток интерполяции.

Интерполяция сплайнами сопряжена с немалым объемом вычислительной работы по сравнению с другими видами интерполяции. Однако эта трудность легко решается с помощью ЭВМ.

[1] Термины «интерполяция» и «экстраполяция», впервые предложены в 1656 году английским математиком Джоном Уоллисом (J. Wallis), образованы от латинского “polire” – сглаживать, и различаются предлогами “inter” и “extra” – соответственно «между» и «внутри».

[2] Можно показать непосредственную связь между конечными разностями и производными, а именно . Доказательство этого положения предоставляем читателю.

[3] Легко убедиться, что форма будет единственной, обращающейся в нуль в узловых точках.