Обучение младших школьников решению задач

6.1. Понятие арифметической задачи

В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Под арифметической задачей понимается требование в определении числового значения искомой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям, выраженным в словесной форме, которые связывают все известные и неизвестные величины между собой. Текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности. В структуре текста задачи выделяются: условие (часть текста, в которой описывается заданная ситуация, числовые данные этой ситуации и связи между ними) и вопрос (часть текста, в которой описывается требование найти неизвестную (искомую) величину).

В методике математике различают разнообразные конструкции текста задачи:

Ø в начале текста дано условие, которое выражено повествовательными предложениями, а затем следует требование, выраженное вопросительным предложением (В гараже стояло 4 машины. По вызову выехало 3 машины. Сколько машин осталось в гараже?);

Ø часть условия представлена повествовательным предложением в начале текста, а затем идет вопросительное предложение, содержащее вопрос и другую часть условия (В гараже стояло 4 машины. Сколько машин стало в гараже, если 3 машины уехало?);

Ø часть условия представлена повествовательным предложением в начале текста. Затем дано второе повествовательное предложение, содержащее требование и еще часть условия (В гараже стояло 4 машины. Найдите количество машин оставшихся после того, как 3 машины уехало.);

Ø текст задачи представляет собой одно вопросительное предложение, в котором сначала идет вопрос, а затем условие (Сколько машин осталось в гараже после того, как 3 из 4 машин уехали?);

Ø текст задачи представляет собой одно повествовательное предложение, в котором сначала идет требование, а затем условие (Найдите количество машин оставшихся в гараже после того, как 3 из 4 машин уехали.).

Следует иметь в виду, что понятие «решение задачи» можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т.е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который, в свою очередь, тоже можно рассмотреть с различных точек зрения. Во-первых, как метод нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые ученики выполняют, применяя для решения тот или иной метод.

В методике математики вопрос о роли задач в курсе математики начальной школы является дискуссионным, так как с одной стороны обучение решению задач рассматривается как цель обучения (ребенок должен научиться решать задачи), а с другой стороны – процесс обучения решению задач рассматривается как один из способов математического, а в целом и интеллектуального развития ребенка.

Сторонники первой точки зрения придерживаются четкой иерархии в построении системы обучения решению задач: в увеличении сложности задач (первоначально рассматриваются простые задачи, затем составные в 2 действия, а затем – составные большего количества действий) и в четком разграничении видов с целью прочного усвоения учащимися способов решения этих видов задач.

С.Е. Царева [77] отмечает, что умение решать задачи определенных видов включает в себя: 1) знания о видах задач, способах решения задач каждого вида и 2) умения «узнать» задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и реализовать его на «узнанной» задаче. Для развития у учащихся умения решать задачи определенных видов необходимо, чтобы дети усвоили сведения о видах задач, способах решения задач каждого вида, отработали умение выделять задачи соответствующих видов, умение выбирать способы решения, адекватные виду задачи, и применять эти способы к решению конкретных задач.

В методике математики имеются различные классификации простых задач. В качестве примера приведем классификацию М.А. Бантовой. В данной классификации деление задач на группы происходит в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Выделяются три такие группы.

К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий.

В этой группе пять задач:

1) Нахождение суммы двух чисел. (Во дворе гуляли 3 мальчика и 2 девочки. Сколько всего детей гуляло во дворе?)

2) Нахождение остатка. (На тарелке было 6 пирожков. Два пирожка съели. Сколько пирожков осталось?)

3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения). (В живом уголке жили хомячки в четырех клетках, по 2 хомячка в каждой. Сколько всего хомячков в живом уголке?)

4) Деление на равные части. (Мама раздала 6 апельсинов поровну 3 детям. Сколько апельсинов досталось каждому ребенку?)

5) Деление по содержанию. (Учительница раздала 10 тетрадей ученикам по 2 тетради каждому. Сколько учеников получило тетрадей?)

Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов.

1) Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слагаемому. (Во дворе гуляли несколько мальчиков и 2 девочки. Всего гуляло 5 детей. Сколько мальчиков гуляло во дворе?)

2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому слагаемому. (Во дворе гуляли 3 мальчика и несколько девочек. Всего во дворе гуляло 5 детей. Сколько девочек гуляло во дворе?)

3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности. (На тарелке было несколько пирожков. Когда два пирожка съели, на тарелке осталось 4 пирожка. Сколько пирожков было?)

4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности. (На тарелке было 6 пирожков. Когда несколько пирожков съели, на тарелке осталось 4 пирожка. Сколько пирожков съели?)

5) Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю. (Неизвестное число умножили на 4 и получили 20. Найти неизвестное число.)

6) Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю. (7 умножили на неизвестное число и получили 35. Найти неизвестное число.)

7) Нахождение делимого по известным делителю и частному. (Неизвестное число разделили на 4 и получили 7. Найти неизвестное число.)

8) Нахождение делителя по известным делимому и частному. (32 разделили на неизвестное число и получили 8. Найти неизвестное число.)

К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения. К ним относятся простые задачи, связанные с понятием разности (6 видов), и простые задачи, связанные с понятием кратного отношения (6 видов).

1) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (1 вид). (У Кати 3 шарика, а у Маши 5 шариков. На сколько шариков у Маши больше, чем у Кати?)

2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (2 вид). (У Кати 3 шарика, а у Маши 5 шариков. На сколько шариков у Кати меньше, чем у Маши?)

3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма). (У Кати 3 шарика, а у Маши на 2 шарика больше, чем у Кати. Сколько шариков у Маши?)

4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма). (У Кати 3 шарика, это на 2 шарика меньше, чем у Маши. Сколько шариков у Маши?)

5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма). (У Маши 5 шариков, а у Кати на 2 шарика меньше, чем у Маши. Сколько шариков у Кати?)

6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма). (У Маши 5 шариков, это на 2 шарика больше, чем у Кати. Сколько шариков у Кати?)

Задачи, связанные с понятием кратного отношения (не приводя примеры).

1) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (1 вид). (Во сколько раз больше?)

2) Кратное сравнение чисел или нахождение кратного от­ношения двух чисел (2 вид). (Во сколько раз меньше?)

3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма).

4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма).

5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма).

6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма).

При втором подходе к обучению решению задач подбор задач осуществляется с ориентацией на определенные интеллектуальные (мыслительные) действия, которые могут формироваться у учащихся при решении той или иной задачи. При данном подходе ученики должны выполнять семантический и структурный анализ текстов задач вне зависимости от их видов и количества действий, выявлять взаимосвязи между данными и искомыми и описывать их каким-либо образом – либо через краткую запись, схему, чертеж, либо сразу в математических символах в виде записи решения. Результатом такого обучения является обобщенное умение решать задачи.

Для развития у учащихся обобщенного умения решать задачи необходимо: 1) формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению в процессе работы над задачей, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; 2) выработка умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение [77].

Итак, мы рассмотрели два подхода в обучении решению задач: 1) четкое разграничение видов задач с целью прочного усвоения учащимися способов решения этих видов задач; 2) формирование у учащихся обобщенного умения решать задачи. Мы придерживается точки зрения, которая была высказана С.Е. Царевой [77]. Она отмечает, что в процессе обучения младших школьников необходимо использовать и тот, и другой подход. Причем сначала формировать у учеников обобщенные умения, а от них идти к обучению способам решения конкретных видов задач. Такое обучение возможно, по мнению С.Е. Царевой, при сочетании трех линий в содержании и организации деятельности учащихся: 1) накопление опыта решения разнообразных задач; 2) овладение компонентами обобщенного умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности; 3) выработка умения решать все виды простых задач; выработка умения решать отдельные виды составных задач.

6.2. Общие вопросы методики обучения

решению задач

Методически принято выделять следующие этапы работы над задачей на уроке:

1. Усвоение содержания задачи.

2. Моделирование текста задачи.

3. Поиск путей решения задачи.

4. Оформление записи решения задачи.

5. Проверка правильности решения задачи.

6. Запись ответа задачи.

7. Работа над задачей после ее решения.

Раскроем каждый этап.

1. Этап усвоения содержания задачи.

ЦЕЛЬ: представить ситуацию, описанную в задаче; понять задачу, т.е. выделить объекты или величины, используемые в задаче, установить их числовые данные, отделить известные данные от неизвестных, определить отношения между ними.

Данный этап состоит из нескольких моментов:

а) Чтение задачи.

При чтении задачи необходимо выделять голосом числа, используемые в задаче, отношения между объектами и, конечно, требование. Перед чтением вслух, ученики должны прочитать задачу «про себя». Задачу ученики всегда читают самостоятельно, в исключительных случаях (букварный период, задача нового вида) читает учитель. Вслух задачу полезно читать один раз. Повторное (выборочное) чтение можно осуществлять в процессе повторения задачи.

б) Повторение задачи.

Приемы повторения:

1. Абстрагирование к виду числа.

2. Повторение задачи по логическим частям.

3. Повторение задачи по структурным частям.

4. Повторение полного текста задачи.

2. Моделирование текста задачи.

ЦЕЛЬ: установить отношения между данными и искомыми числами задачи.

Моделирование – это процесс построения моделей для каких-либо познавательных целей.

В процессе решения задачи ученик не может непосредственно исследовать ту ситуацию, которая предлагается ему в тексте задачи. Смысл же решения задачи состоит в том, чтобы описать данную в тексте ситуацию с помощью математических символов, для этого необходимо выделить количественные характеристики описанной ситуации и тип связей между ними.

В математике модели делятся на схематизированные и словесно-графические.

В свою очередь, схематизированные модели бывают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами, инсценировка, представление) и графическими (они обеспечивают графическое действие – рисунок, условный рисунок, схематический чертеж, схема).

Словесно-графическая модель задачи может выполняться как на естественном языке (в виде краткой записи, таблицы), так и на математическом, когда используются математические символы.

Виды моделей, применяемых при решении текстовых задач:

1. Рисунок - изображает реальные предметы, о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур.

2. Краткая запись - представление в лаконичной форме содержания задачи, выполненное с помощью опорных слов, простых математических выражений, значения исходных величин, связей между ними, а также данными и искомыми величинами.

Это наиболее распространенный путь облегчения учащимся перехода от словесной модели к представлению ситуации, описанной в задаче.

3. Таблица. Этот вид модели похож на краткую запись, но данные расставляются не по строкам к опорным словам, а структурируются в таблицу. Наиболее удачно применение таблицы при решении задач на тройку пропорциональных величин:

4. Чертеж - условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и с соблюдением определенного масштаба.

Чертеж как вид модели целесообразно применять при следующих условиях:

ü наличие у детей определенных навыков вычерчивания отрезков заданной длины;

ü удобные числовые данные в задаче, позволяющие начертить отрезок заданной длины.

5. Схема - это чертеж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются приблизительно, без соблюдения масштаба.

Схема является наиболее предпочтительной моделью при решении задач по ряду причин:

Ø она исключает пересчет (как и чертеж);

Ø может быть использована при решении задач со сколь угодно большими числами;

Ø может применяться при решении задач с буквами;

Ø достаточно конкретна и полностью отражает внутренние связи и количественные отношения в задаче;

Ø позволяет подняться на достаточно высокую ступень абстрактности: не отражает никаких отношений, кроме количественных;

Ø все второстепенные детали опущены;

Ø выбор действия производится без учета главного (опорного) слова, а только исходя из логики происходящих изменений, которые отражены в модели;

Ø внешняя схожесть схем подчеркивает однотипность рассуждений при поиске решения задач;

Ø способствует формированию общего способа действия в задачах одного типа.

6. Блок-схема. Этот вид модели еще называют «дерево рассуждений».

Некоторые методисты не выделяют блок-схему как отдельную модель. На наш взгляд, это неверно, так как при составлении модели в виде блок-схемы используются приемы, отличающиеся от приемов составления моделей других видов:

1) при построении данной модели используется разбор задачи начиная с вопроса;

2) в блок-схеме нет опорных слов, на которые можно ориентироваться при выборе действия (как в краткой записи);

3) отсутствует зрительный ориентир для сравнения величин между собой (как при работе со схемой и чертежом);

4) ребенок ориентируется только на взаимоотношения и взаимосвязи, описанные в задаче.

Составление блок-схемы сопровождается обязательным поэтапным анализом.

3. Этап поиска путей решения задачи.

ЦЕЛЬ: выбрать метод решения и составить план решения задачи.

В математике различают следующие методы решения арифметических задач: практический, графический, арифметический и алгебраический. В качестве основных в математике выделяют арифметический и алгебраический методы решения задач.

При решении задач арифметическим методом проводится анализ задачи. Выделяется 3 вида анализа задачи: прямой (от данных к вопросу), обратный (от вопроса к данным) и смешанный. В методической литературе прямой анализ задачи принято называть синтетическим, обратный – аналитическим, смешанный - аналитико-синтетическим.

Приемы обучения прямому анализу:

1. Создание целевой установки на запоминание вопросов анализа (сегодня вопросы к задаче ставлю я, а завтра кто-нибудь из вас.).

2. Ролевая игра: 1) роль учителя выполняет один ученик, остальные - ученики; 2) весь класс выполняет роль учителя, а один ученик – роль ученика; 3) учащиеся первого ряда ставят вопросы классу, а учащиеся второго ряда отвечают на эти вопросы, ученики третьего ряда выступают в роли учителя – следят за правильностью ответов; 4) учащиеся первого варианта задают вопросы учащимся второго варианта.

В последнем случае надо проверить правильность выполнения задания, например, предложить учащимся, сидящим за одной партой проговорить вслух вопросы и ответы.

Обучение обратному анализу задач начинают с готового решения составной задачи, полученного в ходе прямого анализа. К готовому решению ставят вопросы обратного анализа, обязательно соотнося их с соответствующим действием.

В случае применения смешанного анализа используют вопросы того и другого видов анализа.

4. Оформление записи решения задачи.

ЦЕЛЬ: реализовать план, т.е. записать решение задачи.

Решение задачи сводится к записи ее символической модели.

Решая задачу арифметическим методом символическая модель может быть представлена:

1) действиями без пояснения;

2) действиями с пояснением;

3) в виде составного выражения с последующим вычислением его значения;

4) планом и последующим решением задачи по действиям. (Планом называют последовательность вопросов, отвечая на которые мы приходим к ответу на вопрос задачи);

5) вопросами и записью действий, с помощью которых можно ответить на каждый вопрос.

Решая задачу алгебраическим методом, символическая модель может быть представлена:

а) в виде уравнения и его решения;

б) через запись шагов составления уравнения, самого уравнения и его решения.

5. Проверка правильности решения задачи.

ЦЕЛЬ: убедиться в истинности выбранного плана решения и выполненных действий.

Выделяются следующие способы проверки правильности решения задачи:

1. Составление и решение одной из обратных задач.

Для каждой простой задачи можно составить 2 обратных, т.к. в каждой по 2 известных числа. Для составной – более чем две обратных.

2. Проверка задачи по всем условиям.

Этот способ является громоздким, т.к. даже для проверки решения простой задачи требуется выполнить 2 действия.

3. Прогнозирование результата (прикидка, установление границ ответа на вопрос задачи).

Рекомендуется применять этот метод при решении простых задач, особенно при нахождении значения суммы и остатка, так как в этих случаях сразу видно правильно решена задача или нет.

4. Решение задачи разными способами (только для составных задач).

6. Формулировка и запись ответа задачи.

ЦЕЛЬ: дать ответ на вопрос задачи.

Существует 2 формы формулировки ответа:

а) формулировка полного ответа на вопрос задачи;

б) формулировка краткого ответа на вопрос задачи.

Записать ответ можно следующими способами:

а) после слова «ответ» ставится точка и тогда сам ответ пишется с заглавной буквы.

б) после слова «ответ» ставится двоеточие, и затем сам ответ пишется с маленькой буквы.

7. Работа над задачей после ее решения.

ЦЕЛЬ: развивать у учащихся обобщенные умения, необходимые для решения задач.

Данный этап включает в себя следующие виды работы:

§ если решение задачи записывалось по действиям, то можно его записать с помощью составного выражения и вычислить его значение;

§ решение задачи другим способом;

§ варьирование (изменение) данных задачи, а также условия или вопроса;

§ составление обратной задачи.

С.Е. Царева [76] рассматривает следующие виды работы с задачами на уроке математики.

1. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учителя. Этот вид работы может иметь разные цели, например, использоваться для знакомства детей со способом решения задач определенного вида, для запоминания этапов решения и др.

2. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учащихся. Данный вид может быть использован для овладения учащимися умением последовательно выполнять этапы решения задачи, а также для закрепления умения пользоваться определенными приемами и методами решения. Работа над задачей должна завершаться обобщающими выводами в соответствии с ее целями.

3. Самостоятельное решение учащимися задачи. Этот вид включает в себя либо самостоятельный выбор средств, методов, способов и форм решения, либо применение указанных учителем или учеником средств, методов и способов решения. Это наиболее распространенный вид работы с задачами, но и здесь может быть ориентация на разные цели: на формирование умения решать задачи определенного вида, решать задачи с помощью определенных средств, приемов и методов; проводить проверку и самопроверку, оценку и самооценку; использовать при решении задач свойства действий, вычислительные упражнения и др.

4. Выполнение части решения задачи. Основные цели данного вида работы – формирование у школьников умения выполнять определенный этап решения, обучение общим приемам решения, формирование представлений об арифметических действиях и др.

С.Е. Царева [76] предлагает следующие примеры заданий, которые определяют этот вид работы над задачей:

1) сделать рисунок (чертеж) к данной задаче;

2) прочитать задачу, представить, о чем говорится в ней и рассказать, что представили;

3) пользуясь схемой обратного анализа задачи, составить план решения;

4) известно, что задача решается так … (дается запись решения задачи по действиям), записать это же решение в виде составного выражения, найти его значение и ответить на вопрос задачи;

5) проверить правильность решения данной задачи, определив смысл каждого действия (решив задачу другим способом, сделав прикидку результата и др.).

В методической литературе [28, 76] выделяются также виды работы с задачами, которые не включают в себя полное ее решение. Основным содержанием этих видов работы является сравнение, сопоставление, анализ, что способствует развитию мышления учащихся, повышает интерес к математике. Перечислим эти виды работы:

ü Установление соответствия между содержанием задачи и схематическим рисунков (чертежом, таблицей, краткой записью и т.п.).

ü Выбор среди данных задач той, которая соответствует данному рисунку (чертежу, таблице, краткой записи и т.п.).

ü Выбор среди нескольких рисунков (чертежей, таблиц, кратких записей и т.п.) такого, который соответствует данной задаче.

ü Нахождение ошибок в данном рисунке, чертеже, таблице и т.п. (построенных к данной задаче).

ü Классификация простых задач по действиям, с помощью которых они могут быть решены.

ü Выбор среди данных задач (задач на данной странице или страницах учебника, на карточке) задач данного вида (таких же, какие решали сегодня на уроке и др.).

ü Выбор задачи, при решении которой можно применить данный вычислительный прием.

ü Обнаружение ошибок в решении задачи.

ü Исключение из текста лишних данных.

ü Дополнение условия задачи недостающими для решения данными или отношениями.

6.3. Обучение решению простых задач

В методике существует три этапа в обучении детей решению задач: 1) подготовительный этап, 2) этап ознакомления с задачей и формирование умений работать над задачей и 3) этап отработки этих умений в процессе решения различных задач.

На подготовительном этапе к обучению решению задач необходимо сформировать у учащихся базовые умения: умение слушать и понимать тексты различных структур, умение правильно представлять и моделировать ситуации, предлагаемые учителем, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, умение составлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием, умение находить значение математического выражения.

Опишем основные условия корректной методической подготовки учащихся к обучению решению задач:

1. Обучение детей моделированию различных ситуаций (объединение совокупностей, удаление части из множества, увеличение на несколько элементов данного множества или множества равночисленного данному, сравнение множеств и др.) на различной наглядности символического характера (фигурки животных, сюжетные картинки, геометрические фигуры, счетные палочки и др.).

2. Обучение учащихся выбору соответствующих арифметических действий и составлению математических выражений в соответствии с заданной ситуацией.

3. Ознакомление учащихся со следующими связями:

• связью операций над множествами с арифметическими действиями, т. е. с конкретным смыслом арифметических действий:

• связью отношений «больше», «меньше» с арифметическими действиями, т.е. с конкретным смыслом выражений «больше на…», «меньше на…», «больше в…», «меньше в…»;

• связью между компонентами и результатами арифметических действий;

• связью между данными величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости и соответствующими арифметическими действиями.

Умение правильно выбирать арифметическое действие в предложенной ситуации зависит от умения ребенка переводить различные реальные события и связи между ними на язык математических символов. Для этого на уроках целесообразно использовать задания, связанные с составлением рассказа по картинке, и записи его с помощью математических символов. На первых порах рассказ не должен содержать вопроса, так как цель задания – учить ребенка составлять по картинке математическое выражение или равенство в соответствии с предложенной ситуацией. Поскольку ситуация задана рисунком, то это облегчает ребенку ее восприятие, так как ведущий вид мышления в данном возрасте наглядно-образный. Такие задания одновременно готовят ребенка и к пониманию схематических моделей ситуаций задач в дальнейшем.

Перейдем ко второму этапу обучения решению задач. Основная задача данного этапа – ознакомлением с понятием «задача» и ее существенными признаками; обучение анализу задачи, формам записи ее решения и ответа; способам проверки правильности решения задачи.

В различных системах обучения ознакомление с простой задачей происходит в разное время. В традиционной программе и программе «Школа 2000…» термин «задача» вводится в конце второй четверти, а в системах Л.В. Занкова и «Гармония» учащиеся знакомятся с задачей во втором классе.

Для того чтобы деятельность, направленная на усвоение структуры задачи, не была однообразной, не сводилась к восприятию условия и вопроса задачи Н.Б. Истомина [28] предлагает следующие виды упражнений:

· Сравнение текстов задач.

· Постановка вопроса учащимися к условию.

· Составление условия к данному вопросу.

· Задачи с недостающими данными.

· Задачи с лишними данными.

· Преобразование вопроса, условия, данных задачи.

· Составление задач по рисунку, краткой записи, по решению.

Для сравнения целесообразно подбирать такие пары задач, которые имеют: а) одинаковые условия, но различные вопросы; б) одинаковые вопросы, но различия в условиях; в) одинаковые решения, хотя смысл одного и того же действия в каждой задаче различен.

При работе над задачей целесообразно проводить семантический анализ текста задачи. Под семантическим анализом текста задачи понимается процесс прочтения задачи с последующим выделением основных понятий, связанных со специфическим названием частей этого текста: условие, вопрос, известные данные, неизвестные искомые элементы задачи (А.В. Белошистая). В результате осуществления данного анализа ребенок осознает и представляет себе ситуацию, данную в тексте задачи, и устанавливает связи между данными и искомым.

Основная задача третьего этапа обучения решению задач – формирование у младших школьников обобщенного умения решения задач.

Обобщенное умение решать задачи включает в себя: 1) знание о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению в процессе работы над задачей, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; 2) умение расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение [77].

С точки зрения методики простая задача является «одношаговым» (А.В. Белошистая) описанием соответствующей ей предметной ситуации. Как было отмечено выше, целью работы над простой задачей является обучение ребенка самостоятельной работе над текстовой формой простой задачи с применением всех приобретенных ранее умений:

1) моделирование заданной в тексте задачи ситуации;

2) выбор арифметического действия и составление математического выражения;

3) вычисление значения составленного выражения;

4) запись ответа задачи;

5) проверка правильности решения задачи.

Другими словами, смысл работы над простой задачей заключается в том, что учащиеся в процессе этой деятельности упражняются в применении двух учебных умений: умении перевести текстовое описание ситуации (словесную модель) любого вида в схему (чертеж, краткую запись, предметный рисунок), показывающую взаимосвязь между данными и искомым, и умение оформить эту связь в виде равенства с наименованием (т.е. записать решение, а затем и ответ задачи). Таким образом, процесс решения задачи можно представить в следующем виде:

словесная модель графическая модель символическая модель

Оформим в виде схемы процесс моделирования текстовых задач (см. схему 2).

Таким образом, математики и методисты рассматривают процесс решения задачи как процесс поиска системы моделей. Каждая модель представляет собой одну из форм отображения структуры задачи, а преобразование ее идет по пути постепенного обобщения, абстрагирования и в конечном результате построения ее математической (символической) модели. Следовательно, чтобы решить задачу,

надо построить ее математическую модель, но для этого используются графические (или другими словами вспомогательные) модели [19].

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего задачу. Поэтому обучение моделированию, по мнению М.А. Бородулько и Л.П. Стойловой [19], должно занимать особое место в формировании умения решать задачи, это обучение должно вестись целенаправленно, соблюдая ряд условий.

Во-первых, все математические понятия, используемые при решении задач, должны изучаться с помощью моделей.

Во-вторых, должна вестись работа по усвоению знаково-символического языка, на котором строится модель. Ученик должен осознавать значение каждого элемента модели, осуществляя переход от реальности (предметной ситуации) к модели и, наоборот, от модели к реальности.

В-третьих, одним из этапов обучения должно быть освоение моделей тех отношений, которые рассматриваются в задачах.

И, в-четвертых, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

Исходя из вышесказанного, процесс работы над простыми задачами можно рассматривать как подготовительный этап к решению составных задач. С данной точки зрения понятие «умение решать простые задачи» можно рассматривать, как умение работать с текстовым описанием ситуации и оформлять его в виде соответствующих моделей.

6.4. Ознакомление младших школьников

с составной задачей

Процесс обучения решению задач традиционно делится на две ступени – решение простых задач и решение составных задач. В различных системах обучения на каждую из этих ступеней отводится различный промежуток времени. В настоящее время в школьной практике имеется два направления. В одних программах («Школа России» и «Школа 2000…») реализовано раннее знакомство с простыми задачами (ноябрь-декабрь 1 класса) и раннее знакомство с составными задачами (февраль-март 1 класса). В других программах (системы Л.В. Занкова и «Гармония») знакомство с простыми задачами перенесено на 2 класс (октябрь-ноябрь), но при этом дети почти сразу же знакомятся с составными задачами.

Под составной задачей понимается такая задача, которая состоит из нескольких простых, и для ее решения необходимо выполнить не менее двух арифметических действий. При ознакомлении с составными задачами дети должны усвоить существенный признак этого понятия: задача состоит более чем из одной простой задачи.

В методической литературе известны два пути формирования понятия «составная задача»: аналитический и синтетический.

Первый прием – аналитический - был введен в школу В.А. Евтушевским в к.18 - н.19 века. Суть этого приема заключается в том, что учитель берет составную задачу и выполняет ее анализ, начиная от неизвестного числа задачи. Таким образом, показывается, что в задаче два неизвестных числа, то есть она состоит из двух простых задач.

Научное обоснование второму приему - синтетическому - дал Е.М. Семенов. Содержание этого приема проявляется в объединении двух простых задач, находящиеся в отношении продолжения, в одну составную. Этот прием позволяет раскрыть существенные признаки составной задачи.

В настоящее время в практике обучения при знакомстве с составной задачей используются следующие методические приемы:

Ø Рассмотрение двух простых задач с последующим объединением их в составную.

Педагог рассматривает с учениками два текста простых задач и предлагает сравнить их: чем похожи и чем отличаются. Затем оба сюжета объединяются в один текст, получая составную задачу.

Ø Рассмотрение простой задачи с последующим преобразованием ее в составную путем изменения ее вопроса.

В данном случае простая задача содержит термин разностного сравнения (на … больше (меньше), чем), для получения составной задачи вопрос изменяется на «Сколько всего …?».

Ø Рассмотрение сюжета задачи с действием, рассредоточенным во времени.

В данном случае при анализе задачи обращается внимание на то, что действие происходит не одновременно (например, из транспорта выходят на разных остановках и т.п.), поэтому при решении выполняется не одно действие, а несколько.

Ø Рассмотрение задач с недостающими или лишними данными.

При работе с такими задачами после анализа текста основное внимание уделяется преобразованию простой задачи таким образом, чтобы задача стала составной.

В основном все методические системы обучения математике ставят своей целью научить младших школьников решать задачи арифметическим методом, который сводится к выбору арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Процесс решения задачи арифметическим методом включает в себя последовательность следующих действий:

· Чтение задачи и представление той ситуации, которая в ней описана.

· Выделение в тексте условия и вопроса, известных и неизвестных.

· Установление связи между данными и искомыми величинами и моделирование, заданной в тексте ситуации.

· Установление последовательности арифметических действий и составление пла­на решения.

· Запись этих действий и вычисление их значения, т. е. запись решения и ответа.

· Проверка полученного ответа.

Овладение этими действиями характеризует умение решать задачи арифметическим методом.

6.5. Методика ознакомления с алгебраическим

методом решения задач

Особенность алгебраического метода состоит в том, что вводится специальное обозначение неизвестной величины, что позволяет действовать с ней как с реальной, то есть заданной величиной, выполнять анализ основных зависимостей между явными и неявными значениями величин; производить моделирование условия задачи в виде уравнения.

Таким образом, в качестве базовых знаний для усвоения детьми данного метода необходимо считать следующие знания и умения:

- усвоение понятия переменной величины;

- умение решать простые уравнения различных видов и составные с опорой на зависимость между компонентами и результатом действия;

- умение составлять по тексту задачи различные элементарные, простые и составные выражения и определять их сюжетный смысл;

- умение находить выражения с одинаковым сюжетным смыслом.

Основные методические этапы формирования умения решать задачи алгебраическим методом (АМ) можно назвать обобщенно: подготовительный, этап ознакомления с алгоритмом рассуждений и записи решения задач АМ, этап закрепления и выработки умения

Дадим краткую характеристику каждого из этапов.

1 этап: Основная задача учителя на данном этапе - дать представление о понятии «сюжетный смысл выражения», научить детей составлять всевозможные выражения по тексту задачи, определять их сюжетный смысл.

Реализацию этапа можно осуществить через следующую систему последовательно усложняющихся заданий, требующих от учеников все большей самостоятельности при их выполнении.

1. Для текста с числами, например: «К Новому году дети сделали 4 гирлянды, 8 шариков и 6 хлопушек» составить несколько выражений, записать их смысл по данному сюжету. Установить, верно ли определен сюжетный смысл выражений, составленных по данному тексту.

(8 - 4) шт. – на столько шариков сделано больше, чем гирлянд;

(8 + 6) шт. – столько шариков и хлопушек сделали дети к Новому году;

(8 : 4) – во столько раз гирлянд сделали меньше, чем шариков;

(6 + 4) – 8 шт. – на столько шариков сделали меньше, чем хлопушек и гирлянд вместе.

2. Для текста с числами составить несколько выражений и предложить детям самостоятельно определить их сюжетный смысл.

3. Задание, подобное предыдущему, но среди выражений должны быть такие, которые не имеют сюжетного смысла по данному тексту.

4. По предложенному тексту с числами дети самостоятельно составляют выражения и определяют их сюжетный смысл, а затем находят выражения с одинаковым сюжетным смыслом

5. Для задачи после показа способа обозначения величины, которую требуется найти, через х и способа составления выражений по задаче с использованием этой неизвестной величины как заданной, определение сюжетного смысла этих выражений по тексту задачи.

6. По предложенному тексту задачи после установления сюжетного смысла одного из выражений, которое можно составить по тексту задачи, самостоятельное составление выражения, соответствующего данному сюжетному смыслу.

На данном этапе используются различные формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Основными методами работы учителя будет беседа и подводящий диалог.

2 этап: Основной задачей учителя на данном этапе является введение понятия «основание для составления уравнения», введение алгоритма рассуждений и развернутой формы записи решения задачи алгебраическим методом.

Деятельность учащихся может быть организована по следующему плану:

1. Дать текст задачи. Решить ее арифметическим методом.

2. Предложить обозначить через х неизвестную величину, значение которой требуется найти в вопросе задачи. Составить ряд выражений по тексту задачи и определить их сюжетный смысл.

3. Найти выражения с одинаковым сюжетным смыслом. Сообщить детям, что если выражения составлены по тексту одной и той же задачи и имеют одинаковый сюжетный смысл, то они равны.

4. Составить равенство из двух выражений с одинаковым сюжетным смыслом, в одно из которых входит переменная х.

5. Вместе с детьми определить, что данная запись в математике называется уравнением

6. Решить данное уравнение и установить, что найденное значение х и есть ответ на вопрос задачи.

7. Указать, что сюжетный смысл выражений, которые использовали при составлении уравнений, называется основанием для составления уравнения, а метод решения задачи, который использовался в данном случае, в математике называют алгебраическим.

8. Предложить решить еще одну задачу алгебраическим методом, уточнив алгоритм рассуждений и полную форму записи решения задачи алгебраическим методом

9. Решив вторую задачу, предложить учащимся проверить правильность решения этой задачи. Вспомнив все известные учащимся способы проверки правильности решения задачи, которые использовались детьми ранее (составление и решение обратной задачи, решение задачи другим способом, прикидка результата и т.д.), познакомить с новым способом проверки правильности решения задачи, который используется в том случае, когда задача решается алгебраическим методом. Суть этого способа состоит в составлении по данной задаче уравнения по новому основанию при условии, что через х обозначаетсята же величина. Если после решения этого уравнения получается тоже самое значение х, что и в первом уравнении, то делается заключение о правильности решения задачи.

10. На основе сопоставления решения первой и второй задач, в процессе фронтальной беседы составляется алгоритм решения задач алгебраическим методом:

1) обозначение буквой неизвестной величины,

2) выбор основания для составления уравнения;

3) составление выражений;

4) составление уравнения;

5) решение уравнения;

6) проверка правильности решения задачи.

3 этап: Закрепление материала. Основные задачи этого этапа: обеспечить осознанное выполнение каждого пункта алгоритма решения задач АМ, постепенно увеличивая долю самостоятельности в его выполнении, перейти от развернутой записи всего процесса рассуждений к сокращенной, сформировать умение осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль за правильностью выполнения каждого пункта плана.

Реализация данных задач может быть достигнута путем использования следующих приемов: организация фронтальной беседы по целесообразно подобранным вопросам, направленным на выявление степени осознанности действий, осуществляемых на каждом этапе алгоритма решения задач АМ; групповой работы (парами, тройками и т.д.) по составлению и решению задач АМ; показ эталона ответа и выработка умения сопоставлять ответ товарища с заданным эталоном, составлять оценочное суждение по ответу товарища и самостоятельно выполненному заданию.

Значительное внимание на этом этапе уделяется составлению уравнений по различным основаниям к одной и той же задаче. Естественно, это доступно не для всех учащихся, поэтому такое задание следует предлагать для желающих, с последующим рассмотрением со всеми учащимися. Нередко, составляя несколько уравнений к одной задаче, получаются такие виды уравнений, решение которых сложно для учащихся начальных классов. В этом случае не нужно требовать решения данного уравнений. Важно, что учащиеся смогли установить взаимосвязи между величинами, данными в задаче, перевести их на математический язык и составить уравнения.

Анализ работ учащихся позволяет в качестве типичных назвать следующие ошибки: неверное составление уравнения; ошибки в решении уравнения; подмена проверки правильности решения задачи проверкой правильности решения уравнения.

Причиной возникновения ошибок первой категории следует считать недостаточную продолжительность подготовительного этапа, где учащиеся должны научиться составлять различные выражения по тексту задачи и определять их сюжетный смысл. Для детей с разными способностями к обобщению и скоростью усвоения материала на данном этапе должны быть подобраны задания с различной степенью формализации математических фактов, заданий. Например, для детей со слабой способностью к обобщению можно:

ü использовать прием демонстрации явления, описываемого в задаче, с помощью дидактического материала;

ü провести разъяснительную работу по «введению» школьника в сюжет задачи;

ü помочь ученику представить, как этот сюжет мог бы протекать в реальной жизни;

ü помочь осознать взаимосвязи между величинами и разъяснить способ перевода этих взаимосвязей на язык математических знаков.

Детям с быстрым темпом усвоения полезно предлагать составлять несколько уравнений по задаче, и затем их правильность проверить вместе с детьми всего класса.

Причины ошибок второй категории кроятся в теме «Неравенства и уравнения».

Причиной ошибок третьей категории является недостаточная работа учителя по осознанию каждого пункта алгоритма решения задач алгебраическим методом или отсутствие обратной связи на каждом этапе формирования умения решать задачи АМ.